Differentialgleichung mit Anfangswert (Heun Verfahren)

21.07.2010, 22:30	T-Dragonmaster XII	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung mit Anfangswert (Heun Verfahren) Hallo, ich beschäftige mich aktuell mit der Lösung von Differentialgleichungen. Es soll eine Näherung für folgende Differentialgleichung mit Anfangswert bestimmt werden: $\begin{eqnarray} y'(x) = f(x,y) = xy + 1 \end{eqnarray}$ als Anfangswert ist y(0) = 1* gegeben. Die Schrittweite h soll 1 betragen. Gesucht ist die Näherung $\begin{eqnarray} y(2) \end{eqnarray}$ In der Vorlesung wurden stets Aufgabenbeispiele geliefert, bei denen $\begin{eqnarray} x_{0} und y_{0} \end{eqnarray}$ vorgegeben waren. Soweit ich es verstehe hängt das $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ von der Schrittweite h ab. Somit ergibt sich $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ zu 0, $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ zu 1 und so weiter. Nun zu meiner konkreten Frage: Ist $\begin{eqnarray} y_{0} \end{eqnarray}$ definiert als $\begin{eqnarray} f(x_{0}) = x_{0} \end{eqnarray}$ sodass im vorliegenden Fall dann $\begin{eqnarray} y_{0} = 0 \end{eqnarray}$ ist? Oder ist y(0) =1 so zu interprätieren, dass sich $\begin{eqnarray} y(x_{0})=1 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} x_{0} = 1 \end{eqnarray}$ ergibt? Vielen Dank und liebe Grüße Dragon
03.08.2010, 11:33	T-Dragonmaster XII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, ich fürchte ich hatte mich im ersten Beitrag etwas unglücklich ausgedrückt Mal ein paar weitere Gedanken zum Thema - vielleicht helfen sie anderen Nutzern bei der Bearbeitung von Aufgaben diesen Typs: $\begin{eqnarray} y_{0} \end{eqnarray}$ ist im vorliegenden Fall 1 $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ ist (wie im letzten Beitrag bereits beschrieben) abhängig von der Schrittweite h Im vorliegenden Fall sei $\begin{eqnarray} x_{0}=0 \end{eqnarray}$ Die Schrittweite h ist 1 Zur Berechnung: Den ersten Schritt (also $\begin{eqnarray} y_{1} \end{eqnarray}$ ) Berechnet man wie folgt: $\begin{eqnarray} y_{1} = y_{0} ( \frac {f(x_{0},y_{0}) + f(x_{1},y_{0} + f(x_{0},y_{0})h)} {2})h \end{eqnarray}$ Weitere Schritte werden mit Hilfe der folgenden Gleichung berechnet: $\begin{eqnarray} y_{k+1} = y_{k} ( \frac {f(x_{k},y_{k}) + f(x_{k+1},y_{k} + f(x_{k},y_{k})h)} {2})h \end{eqnarray}$ Liebe Grüße Dragon
03.08.2010, 17:30	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem hat den Anfangswert $\begin{eqnarray} y(0)=1 \end{eqnarray}$ , das heisst an der Stelle Null soll die gesuchte Funktion den Wert 1 haben. Nun wird die Zahlengerade in Intervalle der Länge $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ geteilt. Man setzt $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ [das ist immer die Stelle, an der man den Anfangswert hat] und für $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ definiert man $\begin{eqnarray} x_k:=x_{k-1}+h \end{eqnarray}$ . In deinem Fall kriegst du so das Gitter $\begin{eqnarray} x_0=0,x_1=1,x_2=2,... \end{eqnarray}$ . Nun suchst du Approximationen an die gesuchte Funktion an den Stellen $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ , das heisst $\begin{eqnarray} y_k\approx y(x_k) \end{eqnarray}$ . Das Verfahren von Heun lautet dazu: $\begin{eqnarray} k:=y_k+hf(x_k,y_k)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{k+1}=y_k+\frac{1}{2}(f(x_k,y_k)+f(x_{k+1},k) \end{eqnarray}$ . Nun berechne $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ .
08.09.2010, 23:29	T-Dragonmaster XII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zuerst einmal vielen Dank für die Antwort. Auf Grund von mehreren Besuchen im Krankenhaus erfolgt meine Antwort erst am heutigen Tage zur Berechnung: $\begin{eqnarray} y_{k+1}=y_{k} + \frac {1}{2}(f(x_{k},y_{k}) + f(x_{k+1},k)) \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} y_{0+1}=y_{0} + \frac {1}{2}(f(x_{0},y_{0}) + f(x_{1},0)) \end{eqnarray}$ und weiter: $\begin{eqnarray} y_{1}=1 + \frac {1}{2}(f(0,1) + f(1,0)) \end{eqnarray}$ sowie: $\begin{eqnarray} y_{1}= 1 + \frac{1}{2}(1+1) = 2 \end{eqnarray}$ Habe ich das jetzt richtig verstanden? Vielen Dank & liebe Grüße Dragon
09.09.2010, 08:27	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich habe einen kleinen "Variablenkonflikt" produziert: Das Verfahren besteht aus zwei Teilen, für jeden Schritt $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ . Du berechnest vorab eine Approximation $\begin{eqnarray} \tilde{y} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} y_{k+1} \end{eqnarray}$ mit dem expliziten Eulerverfahren $\begin{eqnarray} \tilde{y}=x_k+hf(x_k,y_k) \end{eqnarray}$ . Dann lautet die endgültige Näherung $\begin{eqnarray} y_{k+1}=y_k+\frac{1}{2}h(f(x_k,y_k)+f(x_{k+1},\tilde{y}) \end{eqnarray}$ . Damit berechnest du $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ ): Zuerst $\begin{eqnarray} \tilde{y}=x_0+hf(x_0,y_0)=0+1\cdot f(0,1)=0+1\cdot(0\cdot1+1)=? \end{eqnarray}$ . Danach $\begin{eqnarray} y_1=x_0+\frac{1}{2}\cdot h\cdot(f(x_0,y_0)+f(x_1,\tilde{y}))=0+\frac{1}{2}\cdot1\cdot(f(0,1)+f(1,\tilde{y}))=? \end{eqnarray}$ . Dann hast du die numerische Näherung $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y(h)=y(1) \end{eqnarray}$ . Um die Näherung für $\begin{eqnarray} y(2) \end{eqnarray}$ zu bekommen, berechne $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ , also wieder beide Schritte mit $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ und dem numerischen Resultat $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ .
09.09.2010, 18:38	T-Dragonmaster XII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, für die von dir angegebene Rechnung erhalte ich: $\begin{eqnarray} \tilde{y}=x_0+hf(x_0,y_0)=0+1(0,1)=0+1\cdot(0\cdot1+1)= 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_1=x_0+\frac{1}{2}\cdot%20h\cdot(f(x_0,y_0)+f(x_1,\tilde{y}))=0+\frac{1}{2}\cdot1\cdot(f(0,1)+f(1,1))= \frac {3}{2} \end{eqnarray}$ Nun verstehe ich noch nicht so ganz warum du bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} y_{k+1} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ und nicht auf $\begin{eqnarray} y_{0} \end{eqnarray}$ beziehungsweise auf $\begin{eqnarray} \tilde{y} \end{eqnarray*}$ zurückgreifst. (ist jetzt auf den Ersten Wert bezogen) Liebe Grüße Dragon
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10.09.2010, 08:23	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das passiert weil ich ein notorischer Vertipper bei solchen Dingen bin . Das Verfahren für den ersten Schritt lautet $\begin{eqnarray} \tilde{y}=x_0+hf(x_0,y_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{1}=y_0+\frac{1}{2}h(f(x_0,y_0)+f(x_{1},\tilde{y}) \end{eqnarray}$ . In dem Fall müsstest du $\begin{eqnarray} y_1=\frac{5}{2} \end{eqnarray}$ finden. OK, dann hoffe ich, dass es diesmal stimmt .
10.09.2010, 14:30	T-Dragonmaster XII	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar - somit sind alle Unklarheiten beseitigt Vielen Dank!

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