Nullstelle von y = x^a + b * x^(a-1) + c für a= reelle Zahl (1,48)

23.07.2010, 08:01

kaheng

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Nullstelle von y = x^a + b * x^(a-1) + c für a= reelle Zahl (1,48)

Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker,

kann mir jemand sagen, wie man die Nullstellen der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{a} + b\cdot x^{a-1} + c \end{eqnarray*}$ finden kann, falls der Exponent a eine reelle Zahl ist (z.b. 1,48) und x nur positive Werte annehmen kann?

Für Hinweise wäre ich sehr dankbar.

Meine Ideen:
Eigene Ideen habe ich keine.
Evtl. kann man die Funktion als Differentialgleichung betrachten und eine Lösung finden.

23.07.2010, 09:09

kaheng

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RE: Nullstelle von y = x^a + b * x^(a-1) + c für b= reelle Zahl (1,48)
in der Titelzeile ist mir ein Fehler unterlaufen

dort steht: "für b= reelle Zahl (1,48)"

richtig ist: "für a= reelle Zahl (z.B. 1,48)"

23.07.2010, 12:31

Reksilat

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RE: Nullstelle von y = x^a + b * x^(a-1) + c für b= reelle Zahl (1,48)
Hi kaheng,

Wenn Du schon keine Ideen hast, so kannst Du doch wenigstens etwas zur Aufgabenstellung sagen. Wo taucht sie auf und warum interessiert Dich die Lösung? Hast Du ein konkretes Problem oder interessiert Dich das allgemeine Vorgehen?

Ich werfe einfach mal numerische Verfahren in die Runde und verschiebe Dich entsprechend.

Gruß,
Reksilat.

27.07.2010, 08:31

kaheng

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RE: Nullstelle von y = x^a + b * x^(a-1) + c für b= reelle Zahl (1,48)
eigentlich geht es um folgenden Zusammenhang:

$\begin{eqnarray*} FA^{b} - FA^{b-1} \cdot potVeg\cdot 100 = e^{a}\cdot Pop^{b+c}\cdot potVeg^{d} \end{eqnarray*}$

dabei bedeuten:
FA: forest area
potVeg: Fläche der potentiellen Vegetation
Pop: Population
a..d sind Schätzparameter (b ist z.B. 1.48.....)

die Schätzparameter können als gegeben betrachtet werden, für Pop und potVeg werden für einzelne Länder entsprechende Werte eingesetzt.

Ich möchte obige Gleichung so umstellen, dass man die Nullstellen von FA berechnen kann. Derzeit weiß ich keinen Weg wie das gehen könnte.
Meine vage Idee ist, dass $\begin{eqnarray*} FA^{b-1} \end{eqnarray*}$ die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} FA^{b} \end{eqnarray*}$ ist, die Gleichung sozusagen als Differentialgleichung betrachtet werden könnte.

Aber da reichen meine Mathe-Kenntnisse nicht mehr aus.
Oder vielleicht besser gesagt, ich würde mich da reinarbeiten, wenn es denn ein aussichtsreicher Weg wäre.

Eine numerische Lösung wäre für mich nur zweite Wahl.

27.07.2010, 08:42

AD

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Wenn die vermeintlich existierende erste Wahl gar nicht zu haben ist, muss man sich mit der zweiten Wahl zufrieden geben.

27.07.2010, 08:47

kaheng

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Das sehe ich auch so.

Bloß, ist denn die erste Wahl wirklich nicht zu haben?

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27.07.2010, 08:48

AD

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Wenn du dem Urteil von zwei Mathematikern nicht vertraust, dann musst du eben noch eine dritte (vierte, fünfte, ...) Meinung einholen.

27.07.2010, 08:53

kaheng

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der erste Mathematiker hat Näherungsverfahren doch nur "in die Runde geworfen".

Er hat nicht behauptet, dass es keine analytische Lösung geben würde.

27.07.2010, 08:56

kiste

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Es gibt für fast alle Exponenten keine analytische Lösung. Für dein 1,48 gibt es beispielsweise keine.

27.07.2010, 09:00

kaheng

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warum ist das eigentlich so?

(oder ist die Frage unverschämt)

27.07.2010, 09:05

kiste

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Für natürliche Exponenten: http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Abel-Ruffini

Für allgemeine reelle Exponenten kenne ich bis auf Spezialfälle keine Möglichkeit sie zu lösen.

27.07.2010, 09:12

kaheng

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vielen Dank

Und meine Idee mit den Differentialgleichungen ist wohl eine Luftnummer, oder?

27.07.2010, 09:21

AD

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Zitat:

Original von kaheng
der erste Mathematiker hat Näherungsverfahren doch nur "in die Runde geworfen".

Er hat nicht behauptet, dass es keine analytische Lösung geben würde.

Er hat es nicht behauptet, weil es für einzelne $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sehr wohl eine analytische Lösung gibt, z.B. für

$\begin{eqnarray*} a\in \left\{ -3, -2, -1, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, 0, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, 1, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, 2, 3, 4 \right\} \end{eqnarray*}$

(wahrscheinlich hab ich noch ein paar vergessen...). Aber für allgemeine, insbesondere auch alle irrationalen Exponenten $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gibt es keine geschlossene Lösungsdarstellung.

27.07.2010, 09:42

kaheng

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So wie ich das verstehe, geht der Wertebereich für a nur bis 4 wegen des Abel-Ruffini-Satzes.

Bei den Brüchen sind die Nenner auch immer kleiner als 5.

Analytisch lösbar wäre die Gleichung wenn ich 1.48... mit 3/2 ersetzten könnte.

Vielen Dank für die Unterstützung.
Es hat mit weiter geholfen.

27.07.2010, 09:54

AD

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So in etwa. Z.B. für $\begin{eqnarray*} a=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ kann man die zu behandelnde Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^{\frac{3}{4}} + bx^{-\frac{1}{4}} + c = 0 \end{eqnarray*}$

durch die Substitution $\begin{eqnarray*} t = x^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ in die Gleichung

$\begin{eqnarray*} t^3 + bt^{-1} + c = 0 \end{eqnarray*}$

überführen, was nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ dann eine Gleichung vierten Grades ergibt

$\begin{eqnarray*} t^4 + ct + b = 0 \end{eqnarray*}$ ,

für welche es noch geschlossene Lösungsformeln gibt. So oder ähnlich klappt es auch für alle anderen von mir angegebenen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

27.07.2010, 09:58

kaheng

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danke

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