Skalarprodukt

24.07.2010, 22:32

Steinbock

Skalarprodukt

Meine Frage:
Die Aufgabe:
Seien u und v von Null verschiedene Vektoren (zwei- oder dreidimensional) mit k = ||u|| und l = ||v||;
Man zeige, dass w = lu+kv den Winkel zwischen u und v halbiert

Meine Ideen:
kein Problem: cos(u,w);
meine Idee:in der Trigonometrie gibt es Formeln für halbe Winkel:
cos(a/2)=Wurzel((1+cos(a)/2));
für cos(a) habe ich den Winkel(u,v) eingesetzt;
beide Ausdrücke müssten äquivalent sein;
mit konkreten Werten für die Vektorkomponenten stimmt das auch;
mein Problem : ich schaffe die allgemeine Herleitung nicht,
ich kann den einen Term nicht in den anderen umwandeln und umgekehrt.

24.07.2010, 23:18

mYthos

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Die doppelten Betragsstriche sind unnötig, es genügen bereits die einfachen.
Und ein eigentliches Skalarprodukt liegt nicht vor, wohl aber Produkte eines Vektors mit einem Skalar.
Wir klammern in der Beziehung

$\begin{eqnarray*} w = |v| \cdot u + |u| \cdot v \end{eqnarray*}$

die Faktoren $\begin{eqnarray*} |u| \cdot |v| \end{eqnarray*}$ aus und erhalten:

$\begin{eqnarray*} w = |u| \cdot|v| \cdot \left( \frac {u}{|u|} + \frac {v}{|v|} \right) \end{eqnarray*}$

Welche Längen haben nun die beiden Vektoren in der Klammer?
Infolge der Vektoraddition bilden sie dann ein ganz bestimmtes Parallelogramm (wie heisst dieses?). In welcher Beziehung stehen dessen Diagonale und w ?
Da solltest du jetzt daraufkommen.

mY+

24.07.2010, 23:23

tigerbine

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Zitat:

Seien u und v von Null verschiedene Vektoren (zwei- oder dreidimensional)

Wir sind also mehrdimensional $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2, \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ (?) und brauchen eine Norm. Mit $\begin{eqnarray*} \|. \| \end{eqnarray*}$ meinst du eine beliebige oder eine spezielle?

Zitat:

Die doppelten Betragsstriche sind unnötig, es genügen bereits die einfachen.

Das würde nur für den eindimensionalen Fall zutreffen. Augenzwinkern

24.07.2010, 23:40

mYthos

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Ich habe allerdings die Aufgabe rein geometrisch aufgefasst und sie dementsprechend auch behandelt. Mit Norm, etc. kenne ich mich leider jetzt nicht aus ...

mY+

24.07.2010, 23:43

tigerbine

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Ich denke schon, dass du dich auskennst. Du meinst bestimmt diese Notation, da ist dann aber noch ein Pfeil drüber. http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodu...ag_von_Vektoren Ich wollte nur sagen, dass die || Striche hier nicht falsch sind. Mit der euklidischen Norm könnten wir uns hierauf einigen. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} | \vec x | = \sqrt{\vec x\cdot \vec x} = \sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2} = \|x\|_2 \end{eqnarray*}$

26.07.2010, 12:18

Steinbock

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die Aufgabenstellung ist schon eine aus dem Umfeld : Skalarprodukt / Anwendungen
ich bin ausgegangen von der Formel für die Winkelbestimmung:

$\begin{eqnarray*} \cos(uv)=\frac{u \cdot v}{||u||*||v||} \end{eqnarray*}$

dann kenne ich aus der Trigonometrie die Formel für halbe Winkel:

$\begin{eqnarray*} \cos(uv/2)=\sqrt{\frac{1+\cos(uv)}{2}} \end{eqnarray*}$

in dieser Formel habe ich den Term: cos(uv) ersetzt durch Formel 1;

dann habe ich cos(uw) bestimmt ;

falls cos(uw) =cos(uv/2) ist, müsste man doch die Äquivalenz zeigen können;
das gelingt mir nicht ;
Denkfehler oder Rechenfehler ?

Edit (mY+): LaTex berichtigt. Du hast vergessen, die LaTex-Tags zu setzen.

26.07.2010, 15:05

mYthos

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Die Überlegungen sind richtig, also liegt kein Denkfehler vor. Rechenfehler können wir mangels ersichtlicher Rechnung nicht orten.
Ich denke aber, dass der Beweis wesentlich leichter gelingt, wenn du zeigst, dass

$\begin{eqnarray*} \cos(u,w) = \cos(w,v) \end{eqnarray*}$

Dazu brauchst du nur drei Zeilen!

$\begin{eqnarray*} \frac {u \cdot w}{|u| \cdot |w|} = \frac {w \cdot v}{|v| \cdot |w|} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} w = |v| \cdot u + |u| \cdot v \end{eqnarray*}$ und Kürzen links durch |u| und rechts durch |v| bist du sofort am Ziel.

Das Kürzen wird möglich, wenn du $\begin{eqnarray*} u^2 = |u|^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} v^2 = |v|^2 \end{eqnarray*}$ verwendest.

mY+

26.07.2010, 17:26

Steinbock

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Danke, für die neuen Denkansätze;
Gruß
Steinbock

26.07.2010, 22:03

Steinbock

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Ich konnte diese Aufgabe jetzt lösen, aber nicht in drei Zeilen;
ich habe so gekürzt, dass die Nenner auf beidenSeiten der Gleichung gleich
sind => dann müssen auch die Zäher gleich sein.
ich habe dann die Vektoren in Komponentenschreibweise dargestellt,
und ausmultipliziert , vereinfacht , fertig.
aber wie geht dies in drei Zeilen?
das würde mich interessieren.
lieben Gruß
Steinbock

27.07.2010, 00:41

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \frac {u \cdot w}{|u| \cdot |w|} = \frac {w \cdot v}{|v| \cdot |w|} \end{eqnarray*}$

Einsetzen: $\begin{eqnarray*} w = |v| \cdot u + |u| \cdot v \end{eqnarray*}$ -->

$\begin{eqnarray*} \frac{|v| \cdot u^2 + |u| \cdot uv}{|u| \cdot \mid |v| \cdot u + |u| \cdot v \mid} = \frac{|v| \cdot uv + |u| \cdot v^2}{|v| \cdot \mid |v| \cdot u + |u| \cdot v \mid} \end{eqnarray*}$ --> Kürzen -->

$\begin{eqnarray*} \frac{|v| \cdot |u| + uv}{\mid |v| \cdot u + |u| \cdot v \mid} = \frac{uv + |u| \cdot |v|}{\mid |v| \cdot u + |u| \cdot v \mid} \end{eqnarray*}$

Es sind genau genommen sogar nur 2 Zeilen Big Laugh

. Die beiden Brüche sind gleich.

mY+

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