Resonanzfall

25.07.2010, 15:49

NullKommaNichts

Resonanzfall

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Differentialgleichung gegeben, wobei
$\begin{eqnarray*} b(x)=2e^{-x} \end{eqnarray*}$
ich habe da jetzt ein bisschen Verständnisprobleme. Ich erläutere im Folgenden mal mein Problem.
Ich hab die NST ermittelt wobei eine davon -1 ist.
Da a für
$\begin{eqnarray*} e^{ax} \end{eqnarray*}$
in diesem Fall ebenfalls -1 ist, liegt der Resonanzfall vor. D.h. wenn ich jetzt die partikuläre Lösung Phi(x) aufschreiben möchte, müsste dies ja normalerweise
$\begin{eqnarray*} x*r*e^{-x} \end{eqnarray*}$
lauten. Oder sehe ich das falsch? Denn in der Lösung zu der Aufgabe ist Phi(x) allerdings mit
$\begin{eqnarray*} (rx+s)*e^{-x} \end{eqnarray*}$
angegeben. Später steht dann da, da
$\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$
schon vorher die homogene Gleichung löst (also in der Lösung der homogenen Gleichung mit drinne steckt), kann man s=0 wählen. Dann wäre man auch bei dem Ansatz den ich habe. Nur ich verstehe den Zusammenhang nicht. Wann wird denn s=0 gewählt, ist das nicht immer der Fall, denn in meinem Buch "Repetetorium der höheren Mathematik" steht nichts von diesem Ansatz der in der Lösung angegeben ist, sondern lediglich, dass man im einfachen Resonanzfall den normalen Ansatz mit x multipliziert. Wann wird denn dann s nicht =0 gewählt? Und muss ich den Ansatz (rx+s) dann immer wählen im Resonanzfall oder reicht es mit x zu multiplizieren?

Meine Ideen:
Die Ideen stecken ja quasi schon in der Frage mit drinne.
Danke schon mal für die Hilfe!

27.07.2010, 19:30

NullKommaNichts

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Hmm schade, dass ich keine Antwort bekomme. Ist was unklar an meiner Frage oder zu kompliziert?

27.07.2010, 21:04

gonnabphd

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Naja, du hast deine Differentialgleichung ja noch nicht einmal aufgeschrieben... Damit könntest du ja mal anfangen. Wink

12.08.2010, 19:54

NullKommaNichts

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Es geht ja hier um keine konkrete DGL sondern um den allgemeinen Fall...

12.08.2010, 19:57

NullKommaNichts

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In dem Fall lautet die DGL:
$\begin{eqnarray*} y'''+y''+y'+y=2*e^{-x} \end{eqnarray*}$

12.08.2010, 20:26

nublär

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wenn du von resonanz sprichst, geh ich davon aus, dass du ne schwingungsgleichung meinst.
in dem fall irritiert aber, dass die dgl vom grad drei ist. zudem fehlen da ne menge freiheitsgrade (in der von dier angegebenen ode haste 4)

steht da zufällig iwas von irgendwelchen anfangsbedingungen?

12.08.2010, 21:11

gonnabphd

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Zitat:

Es geht ja hier um keine konkrete DGL sondern um den allgemeinen Fall...

Den "allgemeinen" Fall gibts einfach nicht. Lehrer

Vielleicht meinst du die allgemeine DGL n-ten Grades mit konstanten Koeffizienten und stetiger Störfunktion (eine Lösung derselben wäre zumindest ganz allgemein angebbar...)?

Zu

$\begin{eqnarray*} y'''+y''+y'+y=2*e^{-x} \end{eqnarray*}$

Da -1 eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist, ist der (Standard-)Ansatz $\begin{eqnarray*} bxe^{-x} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man will, kann man natürlich auch $\begin{eqnarray*} (bx+a)e^{-x} \end{eqnarray*}$ schreiben, aber $\begin{eqnarray*} ae^{-x} \end{eqnarray*}$ ist sowieso Lösung der homogenen Gleichung, damit fällt das sofort weg, wenn man's in die DGL einsetzt.

19.08.2010, 14:19

NullKommaNichts

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Achso. Das a ist in diesem Falle mein s und wenn ich jetzt eine zweifache NST hätte, würde ich dann quasi (cx²+bx+a)*e^(-x) schreiben. Ok alles klar, eigentlich ganz einfach, aber in dem Falle war mir das nicht so ganz plausibel! Danke für die Antwort!

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