Verständnisproblem: Grenzwert einer Funktion

26.07.2010, 21:04

Tarnfara

Verständnisproblem: Grenzwert einer Funktion

Hauptdefinition:
Seien X, Y metrische Räume, $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ eine Funktion, $\begin{eqnarray*} a \in X \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt von X.

Wir schreiben dann: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to a} f(x) = b \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} f(x_n) = b \end{eqnarray*}$ für alle Folgen $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit

1. $\begin{eqnarray*} x_n \in X \end{eqnarray*}$ für alle n,

2. $\begin{eqnarray*} x_n \ne a \end{eqnarray*}$ für alle n und

3. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = a \end{eqnarray*}$

Mir sind hier zwei Sachen nicht klar:
1) Warum dürfen die x_n das a nicht annehmen ?
2) Wie kann a denn überhaupt nicht Häufungspunkt von X sein ? Dies würde ja bedeuten, dass es eine offene Umgebung von a gibt, mit $\begin{eqnarray*} X \setminus \{a \} \cap U_a = \varnothing \end{eqnarray*}$ , da verstehe ich einfach nicht, wie ein einzelner Punkt eine offene Umgebung sein kann, denn jede Umgebung, die mehr als a enthält, hat ja einen nichtleeren Schnitt mit dem Raum ohne diesen Punkt ?!

Für Aufklärung wäre ich sehr dankbar. Ich war schon einmal beim Prof, habe aber seine Antwort nicht verstanden.

Grüße

26.07.2010, 21:28

Tarnfara

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RE: Verständnisproblem: Grenzwert einer Funktion
Okay, warum die x_n das a nicht annehmen dürfen ist jetzt klar.

Denn ich will ja auf Stetigkeit hinaus und die könnte ich hieraus aufbauend nicht sinnvoll definieren, wenn das a zugelassen wäre, da sonst für die konstante Folge, (a,a,a,a,...) der Grenzwert der Bilder immer der Funktionswert an der Stelle wäre.

Aber das andere Problem bleibt ungelöst. :-(

26.07.2010, 21:32

gonnabphd

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Zitat:

1) Warum dürfen die x_n das a nicht annehmen ?

Ich würde mal behaupten, das ist einfach, um Trivialitäten aus dem Weg zu gehen. Könnte man jedoch auch einfach weglassen (damit erhöht man ja nur die Anzahl der möglichen Folgen).

Zitat:

2) Wie kann a denn überhaupt nicht Häufungspunkt von X sein ?

Wenn a ein isolierter Punkt ist. z.B. $\begin{eqnarray*} [0,1] \cup \{2\} \end{eqnarray*}$ . Hier ist a=2 kein HFP. Wahrscheinlich gibt es noch Beispiel anderer Art.

26.07.2010, 21:43

wisili

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RE: Verständnisproblem: Grenzwert einer Funktion
Schau mal hier.

(Hinweis:

Zitat:

Original von Tarnfara
Wir schreiben dann: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to a} f(x) = b \Leftrightarrow ... \end{eqnarray*}$

hat einen Schreibfehler: x statt n.)

26.07.2010, 22:14

Tarnfara

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Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

1) Warum dürfen die x_n das a nicht annehmen ?

Ich würde mal behaupten, das ist einfach, um Trivialitäten aus dem Weg zu gehen. Könnte man jedoch auch einfach weglassen (damit erhöht man ja nur die Anzahl der möglichen Folgen).

Nein kann, man nicht. Denn damit macht man sich den Sinn dieser Definition kaputt.

Betrachte: $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 1, & x \in [0,1) \\ 2, & x \in [1,2)<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Lässt man den Punkt a = 1 zu, dann ist für $\begin{eqnarray*} a_n \equiv 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} 2 = 2 \ne 1 = \lim_{n \to \infty} f \left( 1-\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wenn a ein isolierter Punkt ist. z.B. $\begin{eqnarray*} [0,1] \cup \{2\} \end{eqnarray*}$ . Hier ist a=2 kein HFP. Wahrscheinlich gibt es noch Beispiel anderer Art.

Das ist auch kein Gegenbeispiel, denn $\begin{eqnarray*} [0,1] \cup \{2 \} \end{eqnarray*}$ ist ja der gesamte Raum, das heißt doch insbesondere, dass meine Umgebung eine Teilmenge dieses Raums sein muss (Wo soll sie sonst herkommen ?). Es gibt aber bzgl Standardmetrik (DANKE !! Wisili) keine Umgebung von a, deren Schnitt mit [0,1] leer ist. Die einzige e-Kugel, die's tut, ist der gesamte Raum, also deine Menge selbst. (In der Definition ist ja nicht von Teilmengen die Rede)

[Edit2] Ich glaube, ich versteh's noch immer nicht so wirklich. Also den letzten Teil hier: Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} B_{\frac{1}{2}} (2) \end{eqnarray*}$ betrachte. Dann sind alle Punkte in dieser Kugel = 2, aber die Kugel ist trotzdem offen ? *verwirrt*

Liebe Grüße

27.07.2010, 09:57

saz

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Zitat:

Original von Tarnfara

Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

1) Warum dürfen die x_n das a nicht annehmen ?

Ich würde mal behaupten, das ist einfach, um Trivialitäten aus dem Weg zu gehen. Könnte man jedoch auch einfach weglassen (damit erhöht man ja nur die Anzahl der möglichen Folgen).

gonnabphd hat durchaus recht, man kann diese Bedingung weglassen. Denn du musst dir klar machen: Diese Konvergenz soll für jede beliebige Folge (die 1-3 erfüllt) gelten! Nicht für eine speziell ausgewählte. Insofern ist dein Gegenbeispiel falsch, denn du hast zwar eine Folge angegeben, die zur behaupteten Konvergenz führt, aber deshalb gilt dies noch lange nicht für jede beliebige Folge, die gegen 1 konvergiert.

27.07.2010, 10:20

system-agent

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Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

1) Warum dürfen die x_n das a nicht annehmen ?

Ich würde mal behaupten, das ist einfach, um Trivialitäten aus dem Weg zu gehen.

Nein, nicht um Trivialitäten zu vermeiden, sondern so kann man auch den Grenzwert einer Funktion an einer Stelle definieren, an der die Funktion nicht definiert ist.

27.07.2010, 10:21

Tarnfara

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Zitat:

Original von saz
gonnabphd hat durchaus recht, man kann diese Bedingung weglassen. Denn du musst dir klar machen: Diese Konvergenz soll für jede beliebige Folge (die 1-3 erfüllt) gelten! Nicht für eine speziell ausgewählte. Insofern ist dein Gegenbeispiel falsch, denn du hast zwar eine Folge angegeben, die zur behaupteten Konvergenz führt, aber deshalb gilt dies noch lange nicht für jede beliebige Folge, die gegen 1 konvergiert.

Na, das war mir schon klar. Und das meint er wohl damit, dass man dann einfach "mehr" zu untersuchende Folgen hat.
Aber ich definiere mir den Grenzwert ja so, damit ich irgendwann mal einen vernünftigen Begriff habe, auf dem ich die Stetigkeit einer Funktion aufbauen kann. Und insbesondere bei nicht stetigen Funktionen wäre nicht mehr so ohne weiteres klärbar, ob die Unstetigkeitsstelle hebbar ist oder nicht.

Also was ich meine, ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} |x|, & x \ne 0 \\ 42, & x = 0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nach dem obigen Grenzwertbegriff, wäre dann $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Lässt man (a_n) = (0,0,0,0,...) zu, dann existiert eine Folge, für die gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(a_n) = 42 \end{eqnarray*}$ und somit existierte der Grenzwert nicht.

Aber ob die x_n wirklich für gar kein n a annehmen oder bloß für endlich viele müßte wirklich gar keinen Unterschied machen oder ?

[edit] So, jetzt hab ich noch system-agent gelesen und bin schon wieder verunsichert. Ich denk erstmal weiter drüber nach.

Die Definition sieht doch so harmlos aus. unglücklich

27.07.2010, 14:14

gonnabphd

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Zitat:

Also was ich meine, ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} |x|, & x \ne 0 \\ 42, & x = 0<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nach dem obigen Grenzwertbegriff, wäre dann $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Ja, genau. Das ist ein sehr guter Einwand. Und damit hast du mich auch umgestimmt, dass es einen "tieferen Sinn" (als nur Trivialitäten) hinter diesem Teil der Definition gibt. Sehr schön!

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von gonnabphd

Zitat:

1) Warum dürfen die x_n das a nicht annehmen ?

Ich würde mal behaupten, das ist einfach, um Trivialitäten aus dem Weg zu gehen.

Nein, nicht um Trivialitäten zu vermeiden, sondern so kann man auch den Grenzwert einer Funktion an einer Stelle definieren, an der die Funktion nicht definiert ist.

Daran hatte ich zuerst auch gedacht. Aber nach der Definition muss die Funktion am Punkt a schon definiert sein, da $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in X \end{eqnarray*}$ .

Nachdem das geklärt ist: Zurück zu $\begin{eqnarray*} X := [0,1]\cup \{2\} \end{eqnarray*}$ .

Offene Bälle um den Punkt 2 haben die Form: $\begin{eqnarray*} B_\varepsilon (2) \cap X \end{eqnarray*}$ .

Also ist, wie du schon selber richtig erkannt hast, die Menge $\begin{eqnarray*} \{2\} \end{eqnarray*}$ in X offen.
Andererseits ist diese Menge aber auch abgeschlossen und deshalb ist dann auch $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ in X sowohl offen als auch abgeschlossen (als Komplement von $\begin{eqnarray*} \{2\} \end{eqnarray*}$ ).

smile

28.07.2010, 07:16

Leopold

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Dieses Problem wurde vor einigen Jahren schon einmal im Board diskutiert. Es gibt hier zwei Schulen.

Die erste Schule betrachtet in der Definition beliebige Folgen, die gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergieren. In dieser Schule gilt bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} x & \mbox{für} \ x \neq 0 \\ 42 & \mbox{für} \ x=0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

an der Stelle $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ : Der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ existiert nicht. In dieser Schule gilt der Satz: Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig dann und nur dann, wenn sie bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ definiert ist und ihr Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ existiert.

Die zweite Schule spart bei den betrachteten Folgen den Wert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ selber aus. Bei der obigen Definition existiert also der Grenzwert der Funktion für $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ und hat den Wert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . In dieser Schule gilt der Satz: Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig dann und nur dann, wenn ihr Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x \to x_0 \end{eqnarray*}$ existiert und mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Nach meinem Eindruck hat sich in der Mathematik keine der beiden Auffassungen bisher eindeutig durchgesetzt. Ich selbst bevorzuge die erste Auffassung, gebe aber zu, daß ich im Schulunterricht mit der zweiten arbeite, weil sie mir didaktisch einfacher zu vermitteln scheint, zumal ich sowieso mit einem heuristischen Grenzwertbegriff arbeite.

28.07.2010, 09:37

wisili

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Das deckt sich mit Leopolds Beitrag.

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