Unterraum des R³

27.07.2010, 20:17	Mah	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum des R³ Meine Frage: Hallo! Beim Durcharbeiten meiner Prüfungsvorbereitung habe ich zwei bereits gelöste Aufgaben gefunden, bei denen ich den Unterschied nicht verstehe: Handelt es sich bei folgender Menge um einen Unterraum des R²? $\begin{eqnarray} <br /> \{ \begin{pmatrix} x \\ 2x+3 \end{pmatrix} x\in \mathbb R \}<br /> \end{eqnarray}$ wurde gelöst durch $\begin{eqnarray} \{x \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} x\in \mathbb R \} \end{eqnarray}$ und ist somit Unterraum. Handelt es sich bei folgender Menge um einen Unterraum des R³? $\begin{eqnarray} <br /> \{ \begin{pmatrix} x \\ x+2 \\ x+3 \end{pmatrix} x\in \mathbb R \}<br /> \end{eqnarray}$ wurde gelöst durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_1+2 \\ x_1+3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \\ x_2+2 \\ x_2+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ (x_1 + x_2)+4 \\ (x_1+x_2)+6 \end{pmatrix} \notin \{ \begin{pmatrix} x \\ x+2 \\ x+3 \end{pmatrix} x\in \mathbb R \} \end{eqnarray}$ und ist somit kein Unterraum. Meine Ideen: Die erste Aufgabe hätte ich auch so gehandhabt, allerdings hätte ich die zweite auch so gemacht, das x rausgezogen und mit dem Vektor (0,2,3) addiert. Da 0, 2 und 3 Konstanten sind, ergäbe sich für mich ein Unterraum. Worauf muss ich denn in diesem Fall achten?
27.07.2010, 20:32	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher stammen die Lösungen? Das erste ist nämlich auch kein Untervektorraum. Kann man auch dadurch zeigen, dass der Nullvektor in beiden Mengen nicht enthalten ist. Oder sprichst du einmal von affinen Unterräumen? Beides sind affine Unterräume, aber keine Untervektorräume.
27.07.2010, 20:44	Mah	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Lösung stammt aus unserer Übungsstunde zu diesem Thema. Die zweite Lösung habe ich aus Vorbereitungsmaterial. Ich kenne keine affinen Unterräume. Ich denke das wird wohl ein Fehler sein, aber es ist gut zu wissen, dann mach ich es jetzt so. Vielen Dank für deine Hilfe =) LG und einen schönen Abend!
27.07.2010, 20:48	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein affiner Unterraum (könnte noch kommen) ist eine Menge der Form $\begin{eqnarray} \{u + U\} \end{eqnarray}$ , wobei u ein Vektor des IR^3 ist und U ein Untervektorraum des IR^3. Guck also immer erst, ob die 0 drinnen ist. Übrigens kannst du auch mit den Methoden des Vorbereitungsmaterials zeigen, dass das erste kein UVR ist. Zwei Elemente addieren, dann kommt in der letzen Komponente ein +6 rein. Geht also auch so schief.
27.07.2010, 21:16	Mah	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hoff ich mal, dass die affinen nicht auch noch kommen Ich denke aufgrund meiner mangelnden Mathematikkenntnisse reicht es für meine Klausur aus, die Schritte, die wir gelernt bekommen haben, anzuwenden. Aber trotzdem: Das mit dem Nullvektor verstehe ich (wie nicht anders gewohnt) nicht. Wo gehört der denn hin? Ich hatte beide Varianten bei beiden Aufgaben probiert, ging aber davon aus, dass beide vorgegebenen Lösungen stimmen, daher musste irgendein Unterschied her, den ich mir nicht erklären konnte. Nachvollziehen könnte ich beide Varianten, benutzen werde ich eben nur die zweite
27.07.2010, 21:29	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn eine Menge ein (Unter-)Vektorraum ist, dann muss (!) der Nullvektor in der Menge enthalten sein, denn er ist in IR^n (bzw. die Null komponentenweise in IR) das neutrale Element. Ein Vektorraum ist auch eine abelsche Gruppe, so ist das definiert. Nullvektor muss immer drin sein. Deine andere Art der Untersuchung ist aber auch ok.
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27.07.2010, 22:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 3 Untervektorraumkriterien: [Artikel] Untervektorraum

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