Charakteristisches Polynom einer Abbildung

30.07.2010, 03:41

NoUse666

Charakteristisches Polynom einer Abbildung

Meine Frage:
Hallo zusammen,

in einer Aufgabe deren Lösung ich bereits habe, weiss ich nicht, wie man an die Lösung kommt. Wäre nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie folgende Aufgabe zu lösen ist:

Betrachten Sie den von $\begin{eqnarray*} f_{1}: x -> 1, f_{2}: x -> sin x, f_{3}: x -> cos x \end{eqnarray*}$ erzeugten Untervektorraum V von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^ {\mathbb R} \end{eqnarray*}$ . Es bezeichne $\begin{eqnarray*} \varphi: V -> V, f -> f' \end{eqnarray*}$ die Ableitung, d.h. $\begin{eqnarray*} \varphi(sin x)=cos x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(cos x)=-sin x \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} \chi_{\varphi} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Das Problem liegt darin, dass ich nicht weiss, wie dieser Untervektorraum aussieht oder wie ich mir diesen vorstellen soll. Das charakteristische Polynom mittels $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda E_{n})=0 \end{eqnarray*}$ zu ermitteln ist kein Problem, wenn ich die Abbildungsmatrix kenne.

Das Ergebnis ist: $\begin{eqnarray*} \chi_{\varphi}=X(X^{2}+1) \end{eqnarray*}$

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

30.07.2010, 07:50

jester.

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Was versprichst du dir denn davon, dir den Raum vorzustellen? verwirrt

Das einzige, was du tun musst, ist die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=(x\mapsto 1, ~ x\mapsto \sin(x) ,~ x\mapsto \cos(x)) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Mal die erste Spalte: Dazu musst du dir überlegen, dass herauskommt, wenn du die Funktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto 1 \end{eqnarray*}$ ableitest. Richtig: 0.

Dieses Ergebnis musst du nur noch in Koordinaten bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ darstellen. Die erste Spalte der Matrix ist also eine Nullspalte. Witziger wird das ganze natürlich dann bei Funktionen, die nicht zu Null werden.

Die Basis ist hier übrigens so schön gewählt, dass man das char. Polynom dann sofort ablesen kann, wenn man Begleitmatrizen kennt (und falls du in Aachen studierst, worauf ich mal tippen würde, wurden diese auch behandelt).

30.07.2010, 10:47

Iorek

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Zitat:

Original von jester.
(und falls du in Aachen studierst, worauf ich mal tippen würde, wurden diese auch behandelt).

Was ich zu 99% bestätigen kann, sollte eine Aufgabe vom 13 (Klausurvorbereitungs-)Übungsblatt sein Augenzwinkern

Edit: OT, wieso bist du in der Vorlesungsfreien Zeit um 07.50 Uhr wach? Big Laugh

30.07.2010, 16:38

jester.

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Weil von nix nix kommt und um 10 Uhr das Lernen losgeht. Nächste Woche steht schließlich Stochastik auf dem Klausurplan und übernächste Woche dann Zahlentheorie.

(Sorry fürs OT).

30.07.2010, 20:50

NoUse666

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schonmal danke für die Antwort. Bin dabei aber auf mein wahrscheinlich zu Grunde liegendes Problem gestoßen, dass ich die Basis nicht zusammen bekomme... Könntest du mir das nochmal erklären? Also wie ich an die Basis und die Abbildungsmatrix in diesem Fall, dass die Abbildung durch mehrere Funktionen gegeben ist, komme.

Das sind jetzt Anfänger Probleme, aber ich muss viel arbeiten, um mein Studium zu finanzieren, deswegen kann ich den Vorlesungen nicht immer folgen. Und ja, bin an der RWTH und das ist von dem 13. Übungsblatt Augenzwinkern

01.08.2010, 14:31

mathinitus

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Zitat:

Original von NoUse666
schonmal danke für die Antwort. Bin dabei aber auf mein wahrscheinlich zu Grunde liegendes Problem gestoßen, dass ich die Basis nicht zusammen bekomme... Könntest du mir das nochmal erklären? Also wie ich an die Basis und die Abbildungsmatrix in diesem Fall, dass die Abbildung durch mehrere Funktionen gegeben ist, komme.

Das sind jetzt Anfänger Probleme, aber ich muss viel arbeiten, um mein Studium zu finanzieren, deswegen kann ich den Vorlesungen nicht immer folgen. Und ja, bin an der RWTH und das ist von dem 13. Übungsblatt Augenzwinkern

Die Basis hast du doch selber in der Aufgabenstellung angegeben. Außerdem ist deine Lösung falsch (aber nur um das Vorzeichen).

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