Menge: offen, abgeschl., kompakt, zus.hängend

30.07.2010, 16:59

Philipp Imhof

Menge: offen, abgeschl., kompakt, zus.hängend

Hallo

Gegeben ist die Menge $[latex]M:=\left\{\binom x y \in \mathbb R^2 \left|\right. xy\geq0 \text{ und } x\neq0\right\}[/latex]$

Ich soll untersuchen, ob M in $[latex](\mathbb R^2,d_2)[/latex]$ (falls diese Bezeichnung nicht Standard ist: damit ist die euklidische Metrik gemeint)

- offen
- abgeschlossen
- kompakt
- zusammenhängend

ist.

Meine Lösungen:

- Die Menge M ist nicht offen, denn sei $[latex]a:=\binom 1 0[/latex]$ , dann ist $[latex]a\in M[/latex]$ . Sei nun ein $[latex]\varepsilon>0[/latex]$ vorgegeben, dann ist $[latex]U_\varepsilon(a)\not\subset M[/latex]$ , weil ja $[latex]b:=\binom{1}{-\frac{\varepsilon}{2}}\in U_\varepsilon(a)[/latex]$ aber $[latex]b\not\in M[/latex]$ gilt.

- Die Menge M ist auch nicht abgeschlossen, denn sei $[latex]X:=\mathbb R^2 \setminus M[/latex]$ , dann kann man analog zeigen, dass X nicht offen ist. Damit kann dann $[latex]M=\mathbb R^2\setminus X[/latex]$ nicht abgeschlossen sein.

- Die Menge M ist nicht kompakt, denn wäre sie kompakt, dann müsste sie auch abgeschlossen sein und das ist sie ja eben nicht.

- Die Menge M ist nicht zusammenhängend, denn seien $[latex]Q_1:=\left\{\binom x y \in \mathbb R^2\left|\right. x<0\text{ und } y\leq 0\right\}[/latex]$ und $[latex]Q_2:=\left\{\binom x y\in\mathbb R^2\left|\right. x>0\text{ und }y\geq0\right\}[/latex]$ . Dann ist $[latex]Q_1\cap Q_2=\emptyset[/latex]$ und $[latex]M=Q_1\cup Q_2[/latex]$ , aber die beiden Mengen [latex]Q_1, Q_2[/latex]

sind nichtleer.

Stimmt das so? Danke!

30.07.2010, 17:10

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Leopold

RE: Menge: offen, abgeschl., kompakt, zus.hängend

Zitat:

Original von Philipp Imhof
Stimmt das so? Danke!

Nach einem ersten schnellen Durchlesen: Ja.
Vielleicht solltest du noch erwähnen, daß [latex]Q_1,Q_2[/latex]

offen in

(!!!) sind.

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Menge: offen, abgeschl., kompakt, zus.hängend

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