Minimalpolynom berechnen

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Farmosch Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom berechnen
Moinsen, stehe hier vor einem generellen Problem.

Ich soll ein minimalpolynom berechnen, nun war ich aber in betreffender VL net anwesend Augenzwinkern Habe mal nach sowas gegoogled, aber verstehe ansich nie was genau die da machen...

das ich erst das char. polynom bestimmen muss hab ich mittlerweile, aber was danach? Kann mir das wer ohne nur Formeln zu benutzen erklaeren?

Danke schonmal ^^
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es verschiedene Mittel und Wege. Wenn du das charak. Polynom berechnet und faktorisiert hast, kannst du damit das Minimalpolynom bestimmen.

Das Minimalpolynom ist ein Teiler des charakt. Polynoms, was sagt dir das über die Faktorisierung des Minimalpolynoms?
 
 
Farmosch Auf diesen Beitrag antworten »

es hat die gleiche faktorisierung nur evtl. andere exponenten?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt ist nur noch wichtig, inwiefern sich die Exponenten unterscheiden können, dann kann man gezielt das Minimalpolynom berechnen.
Farmosch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Ja, jetzt ist nur noch wichtig, inwiefern sich die Exponenten unterscheiden können, dann kann man gezielt das Minimalpolynom berechnen.


Genau das ist die Frage, wie komme ich an die Exponenten ^^
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das Minimalpolynom ein Teiler vom charakt. Polynom ist, können die Exponenten dann größer sein?
Farmosch Auf diesen Beitrag antworten »

nein, die liegen irgendwo zwischen 1 und dem exponenten des char. polys Augenzwinkern Nur wo is da die Frage.

Habe in dem Zusammenhang gelesen, dass man dann die Dimension des EIgenraums zu dem Eigenwert bestimmen soll, und die Dim des Eigenraums dann der Exponent des EW im minimal poly ist.

Stimmt das? Und wenn ja, geht das nicht einfacher?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Farmosch
Habe in dem Zusammenhang gelesen, dass man dann die Dimension des EIgenraums zu dem Eigenwert bestimmen soll, und die Dim des Eigenraums dann der Exponent des EW im minimal poly ist.


Betrachte dann mal für das charakt. Polynom, es ist nämlich offensichtlich , der einzige EW ist 1, wie sieht die Dimension des Eigenraums dazu aus? Passt das zum Exponenten des Minimalpolynoms ?

Wenn es nicht allzuviele Faktoren sind, könntest du einfach nacheinander die möglichen Kombinationen ausprobieren.
Farmosch Auf diesen Beitrag antworten »

der eigenraum besteht dann doch nur aus dem Nullvektor, da wir ja Einheitsmatrix - 1* Einheitsmatrix haben.

Also sollte das minimal Polynom (x-1) sein.

Edit: wie meinst du mit durchprobieren der einzelnen Möglichkeiten?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Farmosch
der eigenraum besteht dann doch nur aus dem Nullvektor, da wir ja Einheitsmatrix - 1* Einheitsmatrix haben.


Aha...also ist z.B. kein Eigenvektor zum Eigenwert 1? Mal gucken: . Überleg dir lieber mal, was du bekommst, wenn du das LGS löst (hierbei ist natürlich die Nullmatrix, ).


Zitat:
Original von Farmosch
Edit: wie meinst du mit durchprobieren der einzelnen Möglichkeiten?


Nehmen wir an, dein charakt. Polynom sei , dann kann dein Minimalpolynom sein: , , oder , mehr Möglichkeiten gibt es nicht. Das kann man leicht nachrechnen
Farmosch Auf diesen Beitrag antworten »

Ah klar... ich war grad bei ner vollen Matrix, bei ner 0 Matrix besteht der Kern ja aus den Eigenvektoren...stimmt...

Und zum nachrechnen: Also stell ich alle möglichen auf und schau dann welches davon das char. teilt? Ich blick das nicht so ganz.


Also bleibt mir summa summarum nur alle möglichen aufstellen und ausprobieren(wie auch immer das gehn soll) ?

Oder hab ich nu was übersehen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Farmosch
Und zum nachrechnen: Also stell ich alle möglichen auf und schau dann welches davon das char. teilt? Ich blick das nicht so ganz.

Also bleibt mir summa summarum nur alle möglichen aufstellen und ausprobieren(wie auch immer das gehn soll) ?

Oder hab ich nu was übersehen?


Nein, alles sind Teiler vom charakt. Polynom, du könntest aber eine Eigenschaft des Minimalpolynoms ausnutzen: , sprich: du setzt deine Matrix A ein, führst die Matrixmultiplikation durch und erhältst irgendwann die Nullmatrix.
Farmosch Auf diesen Beitrag antworten »

ah kay, das klingt plausibel Augenzwinkern

Und wie mache ich das fuer eine größere anzahl faktoren?

Edit: mal ne allg. Frage, wenn ich ne Matrix A habe und eine bel. Zahl x, dann is A*x ja alle Eintraege aus A mult mit x, und A + x ist dass dann analog alle Eintraege plus x, oder is das A + I*x ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da wird es unübersichtlich, das Verfahren kann man man aber natürlich auch dann noch anwenden. Alternativ könnte man auf einen Algorithmus zur Berechnung des Minimalpolynoms zurückgreifen, allerdings sollte der dann auch in der Vorlesung dran gewesen sein, von daher solltest du dich vllt. erkundigen, welchen Weg ihr in der Vorlesung eingeschlagen habt.
Farmosch Auf diesen Beitrag antworten »

Naja mit welchem Algo wir das bestimmen is theoretisch egal, da die Klausur ca 60% aus Rechenaufgaben besteht, wo nur das Ergebnis interessiert (richtiges Ergebnis Punkte, falsches Ergebnis 0 Punkte) und der Rechenweg total egal ist und die andern 40% aus Beweisen...

Daher sind sichere Rechenmethoden gut, bei denen man wenig Fehler macht und ob die inner VL dran waren interessiert da niemanden (wie sinnvoll diese art Klausur ist sei mal dahingestellt)

Also bin ich da recht frei mit der Wahl der Methode Augenzwinkern

P.S.: hab oben noch ein OT Edit eingefuegt Augenzwinkern
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In einer Klausur wirst du selten eine größere Matrix als 4x4 finden, von daher ist die Methode über das charakt. Polynom schon zu gebrauchen. Alternativ zum Algorithmus würde ich z.B. auf diesen Thread verweisen.

Und falls du so etwas meinst wie: , dann ist damit gemeint.
Farmosch Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann schau ich mir den Thread mal an Augenzwinkern

Ich meine generell Addition einer Matrix mit einer Zahl Augenzwinkern Da man das nie wirklich benutzt hat, habe ich mir da wenig gedanken zu gemacht.

z.B.



Hab dazu auch mal gegoogled, finde aber nur Matrix * Skalar... hm...

Ist das obige Beispiel nun

oder
?

Und noch ne Frage Augenzwinkern

Wir haben in der Übung zu einer Matrix A eine Orthogonale Matrix S berechnet, sodass
eine Diagonalmatrix ist. Der Weg ansich ist klar, Eigenwerte bestimmen, Eigenräume berechnen, dann hat man ja eine Matrix S die A auf Diagonalgestalt bringt, nur fehlt das orthogonale noch. Also haben wir mit GramSchmidt die vektoren orthogonalisiert. Soweit klar, aber danach haben wir die noch normiert, und den letzten schritt versteh ich net.

Oder gibt es da nicht den unterschied wie bei ortogonalbasis und orthonomalbasis?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Farmosch
Ich meine generell Addition einer Matrix mit einer Zahl Augenzwinkern Da man das nie wirklich benutzt hat, habe ich mir da wenig gedanken zu gemacht.

z.B.



Hab dazu auch mal gegoogled, finde aber nur Matrix * Skalar... hm...

Ist das obige Beispiel nun

oder
?


Du kannst eine Matrix nicht mit einer reellen Zahl addieren.

Zitat:
Original von Farmosch
Wir haben in der Übung zu einer Matrix A eine Orthogonale Matrix S berechnet, sodass
eine Diagonalmatrix ist. Der Weg ansich ist klar, Eigenwerte bestimmen, Eigenräume berechnen, dann hat man ja eine Matrix S die A auf Diagonalgestalt bringt, nur fehlt das orthogonale noch. Also haben wir mit GramSchmidt die vektoren orthogonalisiert. Soweit klar, aber danach haben wir die noch normiert, und den letzten schritt versteh ich net.

Oder gibt es da nicht den unterschied wie bei ortogonalbasis und orthonomalbasis?


Ich versteh die Frage nicht, meinst du den Unterschied zwischen Orthogonal- und Orthonormalbasis?
Farmosch Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1:
[attach]15626[/attach]

Wenn ich da für X eine Matrix einsetze, habe ich doch dann bei q stehen, dass meine ich Augenzwinkern


zu zweitem: [attach]15625[/attach]
Aufgabenteil b:

Wir haben Eigenwerte und damit Eigenräume bestimmt. Eigenwerte warn 3 und 3/2.
für 3 und und für 3/2
.

Die von ER3 haben wir dann orthogonalisiert mit v1 = u1 und und v3 = dem Vektor aus ER 3/2.

Ich haette jetzt aufgehört, da diese ja nun orthogonal sind, aber wir haben jetzt v1,v2,v3 noch normiert.

Meine frage: Ist der letzte Schritt für die Aufgabe notwendig? Weil bei einer Ortoghonalbasis normiert man ja auch nicht, das wird ja nur bei einer orthonomalbasis gemacht.
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