Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p

31.07.2010, 18:59

tohuwabou

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Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p

Hi,

Wink

Ich guck mir gerade folgende Aufgabe an. Es sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Primzahl. Zeigen Sie: In einer nicht abelschen Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^3 \end{eqnarray*}$ hat das Zentrum die Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Ohne Beweis kann angenommen werden, dass das Zentrum mind. 2 Elemente enthält.

Ich hab mir überlegt, dass die Ordnung des Zentrum die Gruppenordnung teilt, da das Zentrum Untergruppe ist,

also $\begin{eqnarray*} |Z(G)| | |G| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |G|=p^3 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |Z(G)| = p \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} |Z(G)| = p^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} |Z(G)|=p^3 \end{eqnarray*}$ .

Nun muss ich ja irgendwie die beiden anderen Fälle ausschließen. Bei

$\begin{eqnarray*} |Z(G)|=p^3 \end{eqnarray*}$ hätte ich jetzt einfach gesagt, da $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nicht

abelsch ist, kann das Zentrum nicht gleichmächtig sein zu $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Aber wie

mach ich das bei $\begin{eqnarray*} |Z(G)|=p^2 \end{eqnarray*}$ ? Bisher hab ich ja noch gar nicht das

Zentrum an sich gebraucht, sondern hätte es ja auch mit jeder anderen Untergruppe so machen können.

Danke

31.07.2010, 19:10

Mystic

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p

Zitat:

Original von tohuwabou
Aber wie

mach ich das bei $\begin{eqnarray*} |Z(G)|=p^2 \end{eqnarray*}$ ? Bisher hab ich ja noch gar nicht das

Zentrum an sich gebraucht, sondern hätte es ja auch mit jeder anderen Untergruppe so machen können.
Danke

Unsinn, bei G=Z(G) hast du wohl eine Zentrumseigenschaft, nämlich kommutativ zu sein, verwendet...

Im noch ausstehenden Fall $\begin{eqnarray*} |Z(G)|=p^2 \end{eqnarray*}$ musst du dir einfach die Faktorgruppe G/Z(G) ansehen... Was kann man über sie aussagen?

31.07.2010, 20:11

tohuwabou

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p
ok, ich hätte wohl "kommutativen Untergruppe" schreiben sollen.

Also das mit den Nebenklassen ist mir noch nicht ganz klar.

Also die Faktorgruppe ist die Menge der rechten Nebenklassen von G bzgl. Z(G).

Ist die Definition der rechten Nebenklassen so richtig?

Die Menge $\begin{eqnarray*} gH=\{ x \in G | es ~ex.~ h\in H : x=gh \} \end{eqnarray*}$ heißt Rechtsnebenklasse von G bzgl H.

Wie bringt mich das weiter? Hammer

Hammer

31.07.2010, 20:56

Mystic

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p
Eigentlich wollte ich jetzt nicht wissen, wie die Elemente von G/Z(G) im Falle $\begin{eqnarray*} |Z(G)|=p^2 \end{eqnarray*}$ aussehen, sondern welche Struktur diese Faktorgruppe hat...

Fang am besten damit an, dass du angibst wieviel Elemente die Faktorgruppe G/Z(G) in diesem Fall hat und überleg dir dann, welche besondere Eigenschaft dieser Faktorgruppe daraus folgt, die hier interessant sein könnte...

31.07.2010, 20:56

tohuwabou

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p

Zitat:

Original von tohuwabou
ok, ich hätte wohl "kommutativen Untergruppe" schreiben sollen.

Ok, das ist wohl Käse

31.07.2010, 21:14

tohuwabou

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p
Kommt man damit weiter?

$\begin{eqnarray*} |G| = [G:Z(G)] * |Z(G)| \Leftrightarrow \frac{p^3}{|Z(G)|}=[G:Z(G)] \end{eqnarray*}$ , wäre nun

$\begin{eqnarray*} |Z(G)| = p^2 \end{eqnarray*}$ , so gäbe es $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Nebenklassen mit jeweil $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ Elementen.

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31.07.2010, 21:18

Mystic

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p

Zitat:

Original von tohuwabou
[...]so gäbe es $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ Nebenklassen [...]

Ok, die Faktorgruppe G/Z(G) hat also p Elemente, wobei p eine Primzahl ist...Was folgt daraus für die Struktur dieser Gruppe?... Mann, lass dir doch nicht alles so aus der Nase ziehen... geschockt

geschockt

31.07.2010, 21:40

tohuwabou

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p
ich hab keine Ahnung Big Laugh

Big Laugh

, ich hab mich noch nicht wirklich damit beschäftigt. Es wird Zeit. Was ist eigentlich genau mit Stuktur gemeint?

31.07.2010, 22:05

Mystic

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p

Zitat:

Original von tohuwabou
ich hab keine Ahnung Big Laugh

Big Laugh

, ich hab mich noch nicht wirklich damit beschäftigt. Es wird Zeit. Was ist eigentlich genau mit Stuktur gemeint?

Na z.B., was genau sind die Untergruppen einer Gruppe von Primzahlordnung p?

31.07.2010, 22:10

tohuwabou

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p
Also es existieren keine Untergruppen von G/Z(G).

31.07.2010, 22:17

Mystic

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p

Zitat:

Original von tohuwabou
Also es existieren keine Untergruppen von G/Z(G).

Sorry, da kann was nicht stimmen, die Gruppe selbst und die Untergruppe, welche nur aus dem neutralen Element der Gruppe besteht, sind doch immer Untergruppen einer Gruppe... geschockt

geschockt

Wie kommst du zu diesem Schluß? verwirrt

verwirrt

31.07.2010, 22:21

tohuwabou

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p
Ok, ja klar . Die gibt es natürlich. Ich glaub ich führ mir das morgen nochmal zu Gemüte. Ich kann mich nicht mehr konzentrieren.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe.

31.07.2010, 22:36

Mystic

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p
Ok, ich weiss nicht, ob ich morgen Zeit haben werde... Also ein grober Plan für die Aufgabe schaut so aus (die Einzelheiten musst du versuchen zu ergänzen):

1. Die Faktorgruppe G/Z(G) hat im Falle $\begin{eqnarray*} |Z(G)|=p^2 \end{eqnarray*}$ die Primzahlordnung p und somit nur die 2 trivialen Untergruppen (Warum?)

2. Jede Nebenklasse $\begin{eqnarray*} aZ(G) \ne eZ(G) \end{eqnarray*}$ erzeugt daher die ganze Gruppe G/Z(G), d.h., G/Z(G) ist zyklisch (Warum?)

3. Die allgemeine Form der Nebenklassen von G/Z(G) ist somit $\begin{eqnarray*} a^kZ(G) \end{eqnarray*}$ , k=0,1,..,p-1 für ein festes $\begin{eqnarray*} a \not \in Z(G) \end{eqnarray*}$ (Warum?)

4. Jedes Element der Gruppe G läßt sich in der Form

$\begin{eqnarray*} a^kz, \quad k \in \{0,1,..,p-1\}, \ z \in Z(G) \end{eqnarray*}$

für ein festes $\begin{eqnarray*} a \not \in Z(G) \end{eqnarray*}$ schreiben (Warum?)

5. Unter Verwendung von 4. folgt dann die Kommutativität von G (Warum?)... Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme $\begin{eqnarray*} |Z(G)|=p^2 \end{eqnarray*}$ (Warum?)

01.08.2010, 13:09

tohuwabou

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p
also ich meine jetzt alles verstanden zu haben bis auf den Punkt 2. Das versteh ich nicht.

Zu 1) Da p prim, hat p nur die Teiler 1 und p selbst. Daher hat G/Z(G) auch nur die 2 trivialen Untergruppen.

Zu 2) Ich seh die Verbindung zwischen den Untergruppen und den Nebenklassen nicht.

Zu 3) Wenn $\begin{eqnarray*} aZ(G) \end{eqnarray*}$ Erzeuger der Faktorgruppe $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ , dann sind in $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ alle Mengen $\begin{eqnarray*} a^{k}Z(G) \end{eqnarray*}$ enthalten für $\begin{eqnarray*} k=0,..,p-1 \end{eqnarray*}$ ,da $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ die Ordnung p hat.

Zu 4) Da die Vereinigung aller Nebenklassen wieder G ergibt, und die Elemente der Nebenklassen $\begin{eqnarray*} a^{k}z, ~ k=0,1,..,p-1 \end{eqnarray*}$ sind, lässt sich jedes Element aus G so schreiben.

Zu 5) G wäre damit kommutativ, da $\begin{eqnarray*} z \in Z(G) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} a^{k}z=za^k \end{eqnarray*}$ , im Widerspruch zu G abelsch.

01.08.2010, 14:46

Mystic

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p
Ad 1) Auf welchen Satz berufst du dich da?

Ad 2) Du musst einfach die von der Nebenklasse aZ(G) erzeugte Untergruppe <aZ(G)> von G/Z(G) betrachten... Was kannst du aufgrund von Punkt 1. über die aussagen?

Ad 5) Warum G dann kommutativ ist, versteh ich nach dem was du geschrieben hast überhaupt nicht... Kann ja sein, dass du das richtige meinst, aber würdest du bei einer Prüfung sowas schreiben, gäbe es dafür einen kräftigen Punkteabzug...Warum nimmst du nicht einfach zwei beliebige Elemente von G in ihrer Darstellung gemäß Punkt 4. her und rechnest die Kommutativität stur nach?

Außerdem: Was heißt, im "Widerspruch zu abelsch"? Die Gruppe ist ja als nichtabelsch vorausgesetzt...

Insgesamt bist du also über alle Dinge, wo man nach meiner Auflistung oben vielleicht noch kurz nachdenken muss, prompt gestolpert... unglücklich

unglücklich

01.08.2010, 16:06

tohuwabou

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RE: Zentrum einer Gruppe hat Ordnung p
1) Auf den Satz der sagt, dass die Untergruppenordnung die Obergruppenordnung teilt.

2) Das aZ(G) eine Untergruppe erzeugt war mir nicht bewusst. Also kann dann <aZ(G)> nur gleich G/Z(G) sein, da <aZ(G)> mehr als nur das neutrale Element beinhaltet und es ja nur die trivialen Untergruppen gibt.

Ganz unten wollte ich schreiben im Widerspruch zu G nichtabelsch. Hammer

Hammer

Ich hoffe jetzt stimmt es so.
Vielen Dank für deine Mühe

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