Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

01.08.2010, 17:45

hamano

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Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Eine 5 m lange Leiter soll so an eine Wand gelehnt werden, dass sie eine vor der Wand befindliche Tonne von 1,2 m Durchmesser als dritten Stützpunkt nutzt. In welchem Abstand vom unteren Ende der Wand muss die Leiter aufgestellt werden?

x: gesuchter Abstand in m; h: Höhe der Leiter in m

1. Pythagora x^2+h^2=25;

2. x+h=6,2
Dies verstehe ich nicht. Wieso kann die Katheten und die Hypothenuse addiert werden =const. ?). Das es zwei Lösungen gibt ist klar. (Praktisch mit Teedose und Lineal ausprobiert.) Lösung gezeichnet und dann gemessen. Stimmt überein mit unten genannten Ergebnis. Ich brühte schon mehere Tage verwirrt

verwirrt

.

⇒ x^2+(6,2-x)^2=25 ⇒ x^2-6,2x+6,72=0 ⇒

x_1=1,4; x_2=4,8 entfällt (zu flach).

Der gesuchte Abstand beträgt 1,4 m.

hamano

01.08.2010, 17:49

sulo

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Zitat:

Original von hamano
Eine 5 m lange Leiter soll so an eine Wand gelehnt werden, dass sie eine vor der Wand befindliche Tonne von 1,2 m Durchmesser als dritten Stützpunkt nutzt. In welchem Abstand vom unteren Ende der Wand muss die Leiter aufgestellt werden?

Gibt es keine Angabe zur Höhe der Tonne? verwirrt

verwirrt

edit: Wäre auch nett, hier zu korrigieren (mit edit)

Zitat:

Original von hamano
⇒ x^2+(6,2-x)^2=25 ⇒ x^2-6,2x+6,72=0 ⇒

smile

01.08.2010, 18:09

Leopold

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Zitat:

Original von hamano
Ich brühte schon mehere Tage verwirrt

verwirrt

.

Welch schreckliche Qual! geschockt

geschockt

Als erste Hilfe ganz schnell ein eiskaltes Bad nehmen, dann sofort einen Arzt aufsuchen. Verbrühungen können zu Verbrennungen höheren Grades führen. geschockt

geschockt

01.08.2010, 18:49

Huggy

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Zitat:

Original von sulo
Gibt es keine Angabe zur Höhe der Tonne? verwirrt

verwirrt

Braucht man nicht! Die Tonne soll waagrecht liegen. Die Leiter ist Tangente an die Tonne.

Zitat:

2. x+h=6,2
Dies verstehe ich nicht.

Der Berührpunkt mit der Tonne zerlegt die Leiter in 2 Tangentenabschnitte. Diese findet man noch mal auf der waagrechten und senkrechten Achse, weil Tangentenabschnitte von einem Punkt an einen Kreis gleich lang sind. Daraus ergibt sich diese Beziehung.

01.08.2010, 19:27

sulo

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von sulo
Gibt es keine Angabe zur Höhe der Tonne? verwirrt

verwirrt

Braucht man nicht! Die Tonne soll waagrecht liegen. Die Leiter ist Tangente an die Tonne.

Hmm, da muss ich irgendwo einen Denkfehler haben...

Für mich sieht das im Prinzip so aus:

[attach]15639[/attach]

01.08.2010, 19:28

riwe

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
smile

smile

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01.08.2010, 19:29

riwe

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Zitat:

Original von sulo

Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Original von sulo
Gibt es keine Angabe zur Höhe der Tonne? verwirrt

verwirrt

Braucht man nicht! Die Tonne soll waagrecht liegen. Die Leiter ist Tangente an die Tonne.

Hmm, da muss ich irgendwo einen Denkfehler haben...

Für mich sieht das im Prinzip so aus:

[attach]15639[/attach]

eine tonne ist molliger und ohne kanten Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.08.2010, 19:30

Huggy

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
Der Querschnitt einer Tonne ist üblicherweise kreisförmig. Daher auch in der Aufgabe die Angabe des Durchmessers der Tonne.

Edit: Dank riwe sollte alles klar sein.

01.08.2010, 19:37

sulo

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
Ach, da bin ich wohl zu "praktisch" rangegangen. Unsere Regenwassertonnen sind zylinderförmig und stehen aufrecht, von der Seite sind es einfach Rechtecke, wie auf meiner Zeichnung...

Es heißt ja im Aufgabentext:

Zitat:

... eine vor der Wand befindliche Tonne ...

Hätte man durchaus konkreter formulieren können...

Dass die Tonne liegen soll, habe ich dann auch so interpretiert, dass die Öffnung von der Wand weg zeigt, also wieder der recheckige Querschnitt, weil ich nie eine Leiter so wie bei riwe abgebildet an eine Tonne lehnen würde. Das scheint mir doch eine gefährliche Angelegenheit zu sein....

Naja, aber so lässt sich zumindest die Aufgabe eindeutig lösen.

smile

smile

01.08.2010, 19:45

Huggy

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
Da schon zig Generationen von Schülern diese Aufgabe bearbeitet haben, hält man wohl eine exakte Beschreibung für überflüssig. Vielleicht hat der Fragesteller aber auch den Text verkürzt wiedergegeben.

01.08.2010, 19:57

sulo

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
Glaube ich nicht, ich konnte diese Aufgabe mit gleichem Wortlaut (aber ohne Lösung Augenzwinkern

Augenzwinkern

) hier im Board finden.

smile

smile

01.08.2010, 20:08

Huggy

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
Dann muss man wohl mal mit den Schulbuchautoren reden.

01.08.2010, 20:11

sulo

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
Die werden uns dann erklären, dass es ein elementarer Teil der Aufgabe ist, zu verstehen, dass die Aufgabe nur dann gelöst werden kann, wenn die Tonne liegt.

Insofern habe ich mich wohl als Depp geoutet... Big Laugh

Big Laugh

01.08.2010, 20:18

riwe

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
üblicherweise ist eine tonne (bedeutung 2) schon ziemlich rund, soferne sie nicht 1000 kg o.ä. wiegt Augenzwinkern

Augenzwinkern

naja, man kann sie natürlich auch der länge/höhe nach an die wand stellen.

nebenbei gibt es natürlich 2 lösungen, je nachdem, ob ich im 1.stock oder im erdgeschoß fensterl will Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.08.2010, 20:23

sulo

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Zitat:

Original von riwe
üblicherweise ist eine tonne (bedeutung 2) schon ziemlich rund, soferne sie nicht 1000 kg o.ä. wiegt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gewiss, aber üblicherweise stehen die Dinger mit der Öffnung nach oben rum, oder? smile

smile

Zitat:

Original von riwe
nebenbei gibt es natürlich 2 lösungen, je nachdem, ob ich im 1.stock oder im erdgeschoß fensterl will Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ohne weiteren Beitrag bekommt der Fragesteller die nicht gesagt.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.08.2010, 15:19

hamano

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
Hallo
die Tonne liegt, daher der Durchmesser. Es gibt nur einen Berührungspunkt, d.h. die Leiter ist eine Tangente.
Stände sie aufrecht, dann wäre es einfach.
hamano

02.08.2010, 15:34

Leopold

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Zitat:

Original von hamano
Stände sie aufrecht, dann wäre es einfach.

Vorrechnen! Big Laugh

Big Laugh

Beim Lesen der Aufgabe habe ich mir auch wie sulo zunächst eine stehende Tonne vorgestellt. Da fehlt in der Aufgabe schlicht die nötige Erklärung dazu. Aber vielleicht ist ja auch eine Zeichnung dabei gewesen, aus der das ersichtlich war ...

Im nachhinein gesehen ist natürlich die liegende Tonne sinnvoller. Die Leiter (idealisiert ein Rechteck) berührt die Tonne (idealisiert ein Zylinder) in einer ganzen Mantellinie, während das bei der aufrecht stehenden Tonne lediglich ein einziger Kreispunkt wäre. So werden nach TÜV 4711/007/MB-020810 die Sicherheitsbestimmungen eingehalten.

02.08.2010, 15:47

hamano

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
Hallo

Damit ich weiter komme hier ein weiterer Beitrag. Anbei die Konstruktion. Leider kann ich aus der nicht die Lösungsidee ableiten. Entweder ich denke zu kompliziert oder ich bin ein Depp.

Hier die Skizze

02.08.2010, 15:52

Leopold

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Zitat:

Original von hamano
Entweder ich denke zu kompliziert oder ich bin ein Depp.

Du bist zu streng mit dir. Der einzige Vorwurf, den man dir machen kann, ist, daß du helfende Beiträge nicht richtig liest.

02.08.2010, 15:53

sulo

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Zitat:

Original von Leopold
.... So werden nach TÜV 4711/007/MB-020810 die Sicherheitsbestimmungen eingehalten.

Ah, da eröffnet sich erst der ganze Charme der Aufgabe. Freude

Freude

Da werden die Schüler spielerisch noch an wichtige Sicherheitsbestimmungen herangeführt.

Big Laugh

Big Laugh

@Hamano
Schau dir mal riwes Zeichnung an, achte besonders auf die beiden Drachen (die auf deiner Zeichnung nicht zu erkennen sind).
An ihnen kannst du erkennen, wo die Gleichung h + m = 6,20 herkommt.

Mit dieser Gleichung und dem Pythagoras von oben lässt sich die Lösung rechnerisch ermitteln.

smile

smile

02.08.2010, 17:55

riwe

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem

Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von hamano
Ich brühte schon mehere Tage verwirrt

verwirrt

.

Welch schreckliche Qual! geschockt

geschockt

Als erste Hilfe ganz schnell ein eiskaltes Bad nehmen, dann sofort einen Arzt aufsuchen. Verbrühungen können zu Verbrennungen höheren Grades führen. geschockt

geschockt

auch "Verbrü(h)tungen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.08.2010, 19:38

hamano

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
Hallo
jetzt hat es gefunzt smile

smile

. (h-r) + (x-r) = 5 also h + x = 5 +2r !

Warum bin ich nicht darauf gekommen? Meine Handskizzen lieferten mir nicht die Drachen. also doch gleich sauber zeichnen. Danke riwes und sulo!

Noch eine Bemerkung zu dem Problem Leiter und stehende Tonne. Man kann davon ausgehen, dass eine Stufe die Tonne in einem Punkt berührt. Hier gibt es mehere Möglichkeiten. Wenn die Leiter mit einer Sprosse anliegt aber in unterschiedlicher Höhe oder die Leiter liegt mit den Seitenstreben an, dann läge eine Sekante vor. Wie das richtige Anlegen der Leiter erfolgen muss wäre interessant? verwirrt

verwirrt

hamano

Ps. Die Aufgabe habe ich in einer Aufgabensammlung des Cornelsen-Verlages gefunden. Ich fand sie schön und wollte sie als Anwendungsaufgabe rechnen lassen. Nun kann ich es tun.

02.08.2010, 19:46

sulo

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RE: Dreiecksberechnung Leiter-Tonne-Problem
Ich denke, die Leiter muss man sich so vorstellen, dass die Streben links und rechts aufliegen und nicht die Querstreben, auf die man tritt.
Hier sieht man es ganz gut:

[attach]15645[/attach]

Von daher ist der Berührpunkt egal, außer, dass man an dieser Stelle vermutlich keinen Fuß ansetzen kann, weil die Tonne stört. Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

15.03.2019, 18:02

Rani89

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Nach ca. 9 Jahren muss ich das Thema leider neu aufgreifen...
Liebe Mathefreunde,

dies ist mein erster Beitrag als neues "matheboard-Mitglied". Tatsächlich habe ich mich nur wegen dieser Aufgabe angemeldet, weil sie mir einfach keine Ruhe lässt- :-) Hinzu kommt, dass ichmit Latex noch nie gearbeitet habe...daher verfasse ich meine Vorrechnung hier ziemlich amateurhaft... geschockt

geschockt

bitte verzeiht!...ich werde mich bessern. Ich habe all eure Antworten gelesen und verstehe es immer noch nicht.

Anbei meine Rechnung und wie weit ich komme.

Offensichtlich handelt es sich bei der Anfertigung einer Skizze um ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypothenuse, also die Leiter ist 5 meter lang. Die Katheten sind x+1,2 und y+1,2 lang. X sei dabei die waagerechte Kathete, die in der Aufgabenstellung angegeben werden soll.

So weit bin ich selbst gekommen:

Dadurch, dass c^2=a^2+b^2 sind, habe ich alles was ich weiß in die Formel eingefügt. Nachdem ich die Wurzel ziehe, ergibt sich nun folgende GLeichung:

5 = (x+1,2) + (y+1,2)
5 = x + y + 2,4

Selbst wenn ich 2,4 auf die andere Seite bringe:

7,4 = x + y habe ich hier zwei unbekannte Variablen und wüsste nicht, wie ich weiter fortfahren soll...

geschockt

geschockt

15.03.2019, 19:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rani89
Die Katheten sind x+1,2 und y+1,2 lang. X sei dabei die waagerechte Kathete, die in der Aufgabenstellung angegeben werden soll.

Hier widersprichst du dich quasi selbst. Was ist denn nun die Kathete: $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x+1.2 \end{eqnarray*}$ ? Oder sprichst du von verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken? Eine Skizze, die deine Symbolwahl widerspiegelt, wäre hilfreich.

------------------------------------

Netter alter Thread ... vielleicht ist es Zeit für eine geraffte Zusammenfassung des bisherigen Geschehens: Mit den gegebenen Größen Leiterlänge $\begin{eqnarray*} l=5 \end{eqnarray*}$ sowie Fassdurchmesser $\begin{eqnarray*} d=1.2 \end{eqnarray*}$ bestehen die beiden Gleichungen

$\begin{eqnarray*} x^2 + h^2 = l^2 \end{eqnarray*}$ (Pythagoras)

$\begin{eqnarray*} x + h = l+d \end{eqnarray*}$ (Gleichheit Tangentenabschnitte Inkreis, siehe Skizze von Werner)

für die beiden Katheten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (Abstand zur Wand) und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ (Höhe, in der die Leiter auf die Wand trifft).

Lösen kann man dieses nichtlineare Gleichungssystem z.B. via Zwischenschritt $\begin{eqnarray*} (h-x)^2 = 2(x^2+h^2)-(x+h)^2 = 2l^2-(l+d)^2 \end{eqnarray*}$ , was unter der Annahme $\begin{eqnarray*} h\geq x \end{eqnarray*}$ (die Leiter steht "steil") zu $\begin{eqnarray*} h-x = \sqrt{2l^2-(l+d)^2} \end{eqnarray*}$ führt, und somit schließlich zur Lösung

$\begin{eqnarray*} x = \frac{(x+h)-(h-x)}{2} = \frac{l+d-\sqrt{2l^2-(l+d)^2}}{2} = 1.4 \end{eqnarray*}$ .

17.03.2019, 16:29

Rani89

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Danke für deine Antwort HAL 9000.

Ich habe nun auch versucht meine Skizze beizufügen, jedoch ist sie sowohl als PNG und JPG zu groß traurig

traurig

Dafür habe ich mir ein paar Tricks im Internet für Latex rausgesucht.

Im Grunde genommen bin ich absolut einverstanden mit der Skizze von Werner.

Auf die 1.Gleichung, die ich komme lautet:

$\begin{eqnarray*} 5^{2} = (h+1,2)^{2} + (x+1,2)^{2} \end{eqnarray*}$

Begründung: Die Hypothenuse (=Leiter ist 5m lang). Die Kathete h "Höhe" ist unbekannt, aber hat definitiv eine Teillänge mit 1,2 (d von Tonne). Die Entfernung zur Wand ist X und ebenfalls unbekannt, hat ebenfalls eine Teillänge von 1,2 (d der Tonne). Und nun wende ich den Satz des. P. an.

Die zweite Gleichung, die hier bei den Antworten immer wieder erwähnt wird, nämlich:

6,2 = h + x , ist das was ich nicht verstehe. Ich habe mir die Zeichnung von Werner angeschaut... Ich verstehe nur nicht, wie er auf der Seite der Höhe, also die Wandseite, schreiben kann: h-r und x-r . Meint er damit, dass die Seite h = h-r + x-r ist? Wie kommt ihr darauf? verwirrt

verwirrt

17.03.2019, 16:42

Rani89

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Habe noch schnell eine Skizze mit PP angefertigt.
[attach]49020[/attach]

x ist zwar unbekannt und gesucht, aber am Ende müsste ich beim Ergebnis die 1,2 hinzuaddieren, da nach der Gesamtweite der Leiter von der Wand gefragt wird.

18.03.2019, 08:45

HAL 9000

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RE: Habe noch schnell eine Skizze mit PP angefertigt.
Schau dir dir Skizze von Werner nochmal ganz genau an.

Ich hatte das kurz mit "Gleichheit der Tangentenabschnitte" bezeichnet, war wohl nicht deutlich genug:

Legt man von einem Punkt $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ außerhalb des Kreises die beiden Tangenten an diesen Kreis, und mögen $\begin{eqnarray*} T_1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} T_2 \end{eqnarray*}$ die beiden zugehörigen Berührpunkte sein, dann ist $\begin{eqnarray*} |ST_1|=|ST_2| \end{eqnarray*}$ .

Diese Situtation tritt im Dreieck hinsichtlich des Inkreises dreimal auf, für jeden der drei Eckpunkte werden die Tangenten an den Inkreis betrachtet, die in dem Fall zugleich die Dreiecksseiten sind.

Links unten beim rechten Winkel ist nochmal besonders, dass die beiden Tangentenabschnitte zusammen mit den beiden zugehörigen darauf senkrecht stehenden Kreisradien ein Quadrat bilden, d.h. die Tangentenabschnitte sind gleich dem Inkreisradius $\begin{eqnarray*} r=\frac{d}{2} \end{eqnarray*}$ . Somit wird die Höhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ unterteilt in die Tangentenabschnitte $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h-r \end{eqnarray*}$ (letzteres in deiner anderweitigen Bezeichnung $\begin{eqnarray*} h+2r-r=h+r \end{eqnarray*}$ ) sowie der horizontale Leiterabstand in $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-r \end{eqnarray*}$ (letzteres in deiner Bezeichnung $\begin{eqnarray*} x+2r-r=x+r \end{eqnarray*}$ ).

Da nun die jeweils letztgenannten Tangentenabschnitte wiederum in gleicher Größe zusammen die Hypotenuse bilden, gilt $\begin{eqnarray*} l = (h-r)+(x-r) = h+x-2r = h+x-d \end{eqnarray*}$ oder umgestellt $\begin{eqnarray*} h+x = l+d = 5+1.2 = 6.2 \end{eqnarray*}$ (in deiner Bezeichnung aber $\begin{eqnarray*} l = (h+r)+(x+r) = h+x+2r = h+x+d \end{eqnarray*}$ bzw. umgestellt $\begin{eqnarray*} h+x=l-d = 3.8 \end{eqnarray*}$ ).

P.S.: Gibt es irgendeinen vernünftigen Grund, warum du jeweils 1.2 von x und h abtrennen willst? Ich sehe nur einen Effekt: Es verlängert den Aufschrieb.

18.03.2019, 23:29

Leopold

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Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ und dem Inkreisradius $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ ist $\begin{align*} F = \frac{1}{2} (a+b+c) \, \varrho \end{align*}$ . Diese bekannte Formel erhält man, wenn man vom Inkreismittelpunkt aus Strecken zu den Ecken des Dreiecks zeichnet und die Flächeninhalte der drei entstehenden Teildreiecke addiert. $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ spielt in den Teildreiecken die Rolle einer Höhe.

Ist das Dreieck zusätzlich rechtwinklig mit $\begin{align*} c \end{align*}$ als Hypotenuse, dann gilt auch $\begin{align*} F = \frac{1}{2} ab \end{align*}$ , so daß in einem rechtwinkligen Dreieck

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ ab = \varrho \, (a+b+c) \end{align*}$

folgt. Darüber hinaus ist nach Pythagoras

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ a^2 + b^2 = c^2 \end{align*}$

Sind nun $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ bekannt, so liegt in $\begin{align*} \text{(1),(2)} \end{align*}$ ein nichtlineares Gleichungssystem in $\begin{align*} a,b \end{align*}$ vor. Es ist offenbar invariant gegenüber einer Vertauschung der Variablen $\begin{align*} a,b \end{align*}$ und besitzt die (geometrisch unbrauchbaren) Lösungen $\begin{align*} a=-c, \, b=0 \end{align*}$ und $\begin{align*} a=0, \, b=-c \end{align*}$ . Mit diesen Informationen läßt sich das Gleichungssystem lösen. Man kann etwa $\begin{align*} b \end{align*}$ eliminieren und den Rest auf eine quadratische Gleichung in $\begin{align*} a \end{align*}$ reduzieren.

19.03.2019, 07:53

HAL 9000

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Hatte ich auch dran gedacht, aber die Flächengleichheit bringt gegenüber dem einfachen $\begin{eqnarray*} a+b=c+2\varrho \end{eqnarray*}$ keine neue Information, die Information ist dort nur noch etwas versteckter:

$\begin{eqnarray*} 2\varrho(a+b+c) = 2ab = (a+b)^2 - (a^2+b^2) = (a+b)^2-c^2 = (a+b-c)(a+b+c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\varrho = a+b-c \end{eqnarray*}$

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