Zwei isomorphe Ringe |
02.08.2010, 13:37 | thorsten_s. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zwei isomorphe Ringe kann mir jemand sagen warum folgende Isomorphie gilt: Dabei ist übrigens der Ring der Gauß'schen Zahlen. MfG Thorsten |
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02.08.2010, 14:03 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sollte das nicht vielleicht heissen? Wenn ja, dann könntest du dir mal den Homomorphismus anschauen, welcher durch gegeben ist. |
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02.08.2010, 14:18 | thorsten_s. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, danke für deine Antwort. Ich habe mich nicht vertippt: Es heisst und nicht . Wie kann man nun eine geeignete bijektive Abbildung definieren? |
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02.08.2010, 14:23 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
O.k. Berechne in diesem Falle doch einmal ! Gruss, g'phd. Edit: Wobei ich da vielleicht etwas vorschnell war... Sorry, das bringt glaube ich nicht so viel?! |
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02.08.2010, 14:36 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm, also dann schauen wir uns das mal genauer an: Wenn wir einen Homomorphismus (Edit: eigentlich können wir gleich einen möglichen Isomorphismus betrachten! Nehmen wir also einfach alles modulo pZ[i]...), wie von mir beschrieben, definieren wollen, dann muss sein. Und deshalb: Aber daraus folgt nun, a oder b = 0. Und da diese Abbildung ja surjektiv sein sollte, muss gezwungenermassen a=0 sein, sowie Ist vielleicht noch gegeben, dass ? |
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02.08.2010, 14:47 | thorsten_s. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich wollte mir den Beweis zu dem Satz angucken, dass für eine Primzahl das Ideal genau dann ein Primideal in ist, wenn gilt. Und da blieb ich eben hängen bei dem angegebenen Isomorphismus , den der Autor nicht näher begründet hat. ... wobei ich mir auch nicht mehr so sicher bin, ob es nicht doch heissen müsste. |
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02.08.2010, 14:52 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ich glaube, jetzt hab ich's. Die beiden Ringe sind halt nicht isomorph... Denn wenn ich vorhin mit meiner Idee nicht falsch gelegen bin, dann sollte gelten. Würde nun auch noch die andere Isomorphie richtig sein, so müsste doch also insbesondere für ein Polynom aus . Daraus folgt dann jedoch für n>0 aus Gradgründen. Und somit müsste sein, was offensichtlich nicht möglich ist. Stimmst du hier mit mir überein? Bin irgendwie nicht so sicher, grad. |
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02.08.2010, 14:56 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wobei halt, wenn gilt, dann gibt es ein Element mit . Deshalb meine Verunsicherung... Nachtrag: Ich hab's jetzt mal durchgerechnet und sollte stimmen. Damit sollte auch meine Argumentation von oben richtig sein. |
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02.08.2010, 15:15 | thorsten_s. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ich bin mir jetzt auch sicher, dass das Minus ein Druckfehler ist. Ich hab nämlich in einem anderen Buch nachgeguckt, wo der selbe Satz mit dem nahezu selben Beweis bewiesen wurde und dort wird das Polynom aus herausgeteilt. Gut, dann ist ja alles geklärt. Mich hat dieses Minus halt total verunsichert :-D (noch dazu müsste so ein Fehler bei der 5. Auflage schon längst korrigiert worden sein) Danke für deine Hilfe nochmals! Ciao, Thorsten |
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02.08.2010, 15:26 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okee, dann ist ja alles gut! Viel Spass noch beim Beweis. Gruss. |
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02.08.2010, 16:47 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich wollte nur noch anmerken: Was ich oben geschrieben habe, ist (teilweise) Schwachsinn... Nicht mein Tag.
Dies scheint zum Beispiel nicht zu stimmen. Ich versuch's jetzt nochmal richtig:
Hier hätte ich anknüpfen sollen. Definiere wobei wie oben sein soll. Dann ist ein Erzeugendensystem von - also ist surjektiv - und da multiplikativ die Ordnung 4 hat, ist auch wohldefiniert. Weiterhin gilt: Also stimmt die Isomorphie von oben doch. Dadurch lässt sich auch
erklären... Tut mir wirklich Leid für die ganze Verwirrung! Zu müde Grüsse, g'phd. |
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