Fragen zur Abbildungsmatrix..

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liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zur Abbildungsmatrix..
Halli Hallo,Ich steh ein wenig auf dem schlauch und habe einige fragen bzgl. Abbildungsmatrizen:Aufgabenstellung:Es sei T die durch :



definierte lineare Abbildung R^4 ->R^4 und T die (bzgl der Standardbasen in Urbild- und Bildraum) zughörige Matrix.
Ist T invertierbar?
Ist der Vektor (1,-1,1,-1)^T ein Eigenvektor der Matrix T?
Ist T diagonalisierbar?
1.Idee zu 1)
Ich bilde einfach T um zu sehen, ob T invertierbar ist!
Nun kann ich doch sagen T*V = W mit V : UrbildBasen und W : Bildraumbasen ?
Sprich meine Abbildungsmatrix müsste sich doch aus W *V^-1 = T ergeben,oder?
Nun kann ich V aber nicht invertieren,da keine reguläre matrix..... *gescheitert*

2. Idee zu 1)
Nun habe ich, bevor ich versucht habe die Abbildungsmatrix mit der oben genannten Vorschrift T*V = W zu bilden, überlegt, dass die Vektoren auf der linken Seite der Zuordnungsvorschriftin manchen Aufgaben doch die Bilder Basen des Urbildraumes sind und die "Bilder der Urbildbasen bzgl der Basis im Bildraum" die Spalten der Abbildungsmatrix sind.
Problem hier: es steht explizit da,dass die Matrix bzgl der Standardbasen definiert ist...also sind die Vektoren wohl doch nicht die Basen des Urbildraumen + ihre Bilder?

Bin etwas durcheinander und würde mich wirklich über hilfe freuen...
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Abbildungsmatrix..
Also du sollst die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis bilden.

Standardbasis ist normal:


Auf was die ersten 2 abgebildet werden weisst du aus der Definition.
Die andern beiden kannst du ausrechnen, denn



Dasselbe mit dem 4. Basisvektor und die 4 Bildvektoren sind die Spalten deiner Abbildungsmatrix.
lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

okay..

wenn ich die bilder der letzten beiden vektoren voneinander abziehe kommt der 0-vektor heraus,oder versteh ich da etwas falsch?

wie kommst du auf den faktor 1/2?

hab ich gefuehlt noch nich gesehen..

danke schonmalsmile
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Abbildungsmatrix..
Jep, dann ist offensichtlich



das kann ja durchaus vorkommen.

und zu den 1/2:



Das dient einfach zur Umformung auf Vektoren, dessen Bild du kennst. Das darfst du machen, da die Abb. laut Vorraussetzung linear ist.
lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

is mir nun etwas peinlich ,aber ich verstehs nichsmile
is fuer mich grad noch magie...

vllt ein wenig einleuchtender erklaeren?
vllt hilft mir,wenn du mir erklaerst,was genau die vektoren darstellen die ich oben gepostet hab.die ersten beiden sind teile der basis des R^4,gut..und die beiden letzten sind fuer mich noch unklar..
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzten beiden sind einfach beliebige Vektoren für die dir der Nette Aufgabenersteller vorgibt, auf was sie abgebildet werden.

Die Sache ist jetzt die, du möchtest gerne wissen auf was die 4 Vektoren der Standardbasis abgebildet werden. Für 2 weisst du es direkt aus der Aufgabe.

Für (0,0,1,0) und (0,0,0,1) weisst du es allerdings nicht. Da musst du jetzt mit den gegeben Informationen arbeiten.

Du weisst, dass die Abbildung linear ist, es gilt also:


sowie


Damit kannst dir nun überlegen, dass



Und damit weisst du nun, dass



Nun musst du noch entsprechendes für den letzten Vektor (0,0,0,1) tun um dessen Bild zu berechnen und kannst dann die Matrix bilden.

Überlege dir einfach, wie du den Vektor (0,0,0,1) oder ein Vielfaches als Summe aus den Vektoren erhälst, dessen Bild du kennst, und multipliziere ggf. noch mit einem Skalar.
 
 
lileterpe Auf diesen Beitrag antworten »

da ke.werde ich gleich versuchensmile
aber sofort r
eine kurze frage dazu: wenn ich die basisvektoren aus bekannten kombiniere,sind sie dann nicht linear abhängig (ja,die beiden letzten sind keine basisvektoren,aber man kombiniert die basen nun doch aus gegebenesmile )?

bin neugierigsmile lg
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Abbildungsmatrix..
Die Basisvektoren



sind offensichtlich linear unabhängig. Klar kannst du so einen Vektor aus mehreren anderen Vektoren aus dem linearkombinieren, das hat jedoch nichts mit der Unabhängigkeit der Vektoren unter sich zu tun.

Aber zurück zur Aufgabe, hast du nun die Bilder der Basisvektoren? Und dann bilde deine Matrix und überprüfe die Aussagen Wink
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »



?

nun habe ich da keine weiteren skalare gebraucht,weil es sich einfach so ergeben hat.

*hoff*=)

PS: sorry,dass es so lange gedauert hat aber ich war auf dem weg in die uni und mit dem iphone schreibt sichs in latex recht umständlich Augenzwinkern
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »


die spaltenweise aus den Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren bzgl. der Bildraumbasis besteht. UNd weil das hier die Standardbasis ist, werden einfach die Bilder sofort eingetragen, da die Koordinatenvektoren gleich der Darstellungsvektoren sind smile
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Ist richtig Freude

So welche Matrix ergibt sich nun?

Und dann ran an die Aufgabe Augenzwinkern

edit: Setz ma deinen Beitrag noch in LAtex-Klammern, ist aber glaube ich richtig Augenzwinkern

edit2: Begründung richtig, Matrix fast richtig, unten rechts fehlt ein Minus =)
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »



das die matrix singulär ist seh ich.somit ist die erste aufgabe gelöst
=>matrix nicht invertierbar

zur zweiten frage habe ich noch ein paar unklarheiten smile

nun gilt ja für abbildungsmatrizen,dass sich der rang aus

rang(T) = dim (bild(T)) ergibt.

bedeutet das ,dass ich nun eine zeile streiche und die matrix somit den rang m-1 sprich 4-1 hat ?
aber,wenn ich die zeile streiche existiert die nullspalte ja immernoch,also müsste ich sie doch auch streichen?
dann könnte ich aber die zweite aufgabe nicht lösen, denn ich kann ja die 3x3 matrix nicht mit dem 4x1 vektor multiplizieren...

vielen dank für deine schnelle hilfe. ehrlich=)
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Welches ist denn die zweite Frage für die du den Rang brauchst?

Du hast nur noch die mit dem Eigenvektor und der Diagonalisierbarkeit geschrieben, dazu brauchst du keinen Rang.

Aber trotzdem: Der Spaltenrang=Dimension des von den Spalten erzeugten Raumes=dim(Bild)=Max. Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren=3

edit: um zu testen ob v ein Eigenvektor ist, guckst du einfach ob es ein gibt, mit
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

mh naja ich soll prüfen, ob der vektor
ein eigenvektor der matrix ist.

im grunde quält mich nur die frage,ob ich die linear unabhängigen spalten und zeilen bei der matrix streichen soll und damit dann rechnen soll, sprich


( was nich geht ,wegen matrix 3x3 und vektor 4x1)...

oder muss ich nur die zeile streichen soll,weil sich dadurch ja der rang der abbildungsmatrix per definition ändern würde...

im grunde hab ich kurz gesagt nur das problem,dass ich nicht weiss was ich mit den l.a. spalten und zeilen anstellen soll smile streichen? in frieden lassen und einfach mti der matrix rechnen ...?=)
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kvnb

edit: um zu testen ob v ein Eigenvektor ist, guckst du einfach ob es ein gibt, mit
#

jap =) aber wie sieht die matrix aus....smile lass ich sie wie sie ist oder streich ich irgendwelchen spalten und zeilen? .. *irgendwo denkt dass das schwachsinn wäre,aber sich nich sicher ist*
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von liliteeps
Zitat:
Original von kvnb

edit: um zu testen ob v ein Eigenvektor ist, guckst du einfach ob es ein gibt, mit
#

jap =) aber wie sieht die matrix aus....smile lass ich sie wie sie ist oder streich ich irgendwelchen spalten und zeilen? .. *irgendwo denkt dass das schwachsinn wäre,aber sich nich sicher ist*


Nichts streichen =) Die Matrix ist schliesslich der Repräsentant deiner Abbildung.
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

mh ich glaub ich stell mich wieder dümmer an als ich muss...

sehr schwere geburt:



und damit ist der vektor ein eigenvektor..smile
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

vielen vielen vielen dank=)

nun noch eine klitzekleine frage... die letzten beiden vektoren aus der zuordnungsvorschrift für T werden auf denselben bildvektor abgebildet,das bedeutet doch einfach die abbildung ist nicht injektiv...was doch wiederum bedeutet

Abbildung =! injektiv =Matrix hat lin.abh.spalten,weil rang (T) != n = Anzahl Spalten
und daraus folgt eben singularität + nicht.invertierbar?

ich steh mit latex noch etwas auf kriegsfuss,das nächste mal kommt alles in tex=)
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von liliteeps
mh ich glaub ich stell mich wieder dümmer an als ich muss...

sehr schwere geburt:



und damit ist der vektor ein eigenvektor..smile


korrektur:

Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von liliteeps
vielen vielen vielen dank=)

nun noch eine klitzekleine frage... die letzten beiden vektoren aus der zuordnungsvorschrift für T werden auf denselben bildvektor abgebildet,das bedeutet doch einfach die abbildung ist nicht injektiv...was doch wiederum bedeutet

Abbildung =! injektiv =Matrix hat lin.abh.spalten,weil rang (T) != n = Anzahl Spalten
und daraus folgt eben singularität + nicht.invertierbar?

ich steh mit latex noch etwas auf kriegsfuss,das nächste mal kommt alles in tex=)


Alles richtig Augenzwinkern Gibt ganz verschiedene Wege zu begründen, dass T nicht invertierbar ist.

Und die Korrektur war keine richtige Korrektur da steht immernoch 11 Big Laugh ist aber nicht schlimm ich weiss was gemeint ist.

Nun noch die letzte Aufgabe. Wink
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Abbildungsmatrix..
wie die zeit vergeht=)

ich setz mich jetzt an die letzte ja=)*rechne*
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mal für ne halbe Stunde weg, deswegen hier noch ein Tipp:

Besitzt eine nxn-Matrix T genau n versch. Eigenwerte, so ist T diagonalisierbar. Besitzt T weniger als n verschiedene Eigenwerte, so ist T genau dann diagonalisierbar, wenn du eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bilden kannst.
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich bin ehrlich gesagt ein großer freund von brainstorming=)

idee 1)

ich könnte nun das char. polynom ausrechnen,dann die eigenwerte,dann die algebraischen und geometrischen vielfachheiten (), denn für dieagonalisierbare matrizen gilt ja :
falls :
für alle eigenwerte existieren genau n linear unabhängige eigenvektoren ,was bedeutet, dass die matrix diagonalisierbar ist,richtig?

frei nach : D = X^-1 T X mit X bestehend aus lin.unab. Eigenvektoren=)

nun habe ich die matrix,das ist eine 4 X4.Wenn ich schnell bin, kann ich das polynom aufstellen und die eigenwerte ausrechnen usw...

aber mit den vorhandenen infos: aussehen der matrix, einem eigenvektor, einem eigenwert und der information das bei singulären matrizen mind ein eigenwert = 0 is kann ich doch sicher irgendwie argumentieren ob sie diagonalisierbar ist oder nicht?

smile ?
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

ok also :

n verschiedene eigenwerte => definitiv diagonalisierbar *merk*

und weniger als n verschiedene eigenwerte => genau dann diagonalisierbar,
wenn ich n lin.unabhängige eigenvektoren zu ihren jeweiligen eigenwerten bilden kann <=> algebraische = geometrische vielfachheiten für jeden einzelnen Eigenwert ?

ok..*weitertu*
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fürchte aus den gegebenen Informationen lässt sich noch nichts sicher schliessen, denn eine diagonalisierbare Matrix kann sowohl regulär als auch singulär sein, und du kennst auch erst 2 Eigenwerte.

Du kannst aber hier das charakt. Polynom ziemlich schnell ausrechnen wenn du nach der 3. Spalte entwickelst Augenzwinkern

Zitat:
Original von liliteeps
algebraische = geometrische vielfachheiten für jeden einzelnen Eigenwert ?


Jep Augenzwinkern
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich nich einfach zeilen vertauschen (zb auch so eine frage die mich verunsichter,denn dann verändere ich ja die abbildung ,oder?)..weil dann hab ich eine obere dreiecksmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonale:





und den eigenvektor zu kenn ich ja schon

und mit kann ich doch sagen, bei gilt schonmal algeb. = geometrische vielfachheit =)

so...

nun muss ich wohl die eigenvektoren ausrechnen:



wenn ich das nun mache bekomm ich für die eigenwerte 0 und -1 nur die triviale lösung heraus...
... kann das sein?
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Zeilenvertauschen geht eben nicht. Die Eigenwerte stimmen, allerdings ist und . Rechne es lieber mal normal aus, dann siehst du es.

Nun musst du nur noch prüfen, ob die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert 2 auch gleich 2 ist, m.a.W. ob zum Eigenwert 2 gilt: Algebr. Vielfachheit = Geom. Vielfachheit.

Ist dem so, ist die Matrix diagonalisierbar.

Ich muss jetzt leider weg, schaue aber heut Abend noch mal drüber Augenzwinkern

Grüße

Kev
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

ok,fehler eins gefunden :

pro zeilenvertauschen verändert sich die determinante um faktor (-1)

dh die eigenwerte sind nicht 1 1 0 -1 sondern -1 -1 0 und 1 .. so nun weitersmile
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

jap mach ich smile ,deine antwort war eben noch nicht da smile *weiterrechne*

aber ich kann das doch dann einfach berücksichtigen und ,die eigenwerte alle mit -1 multiplizieren?
bzw das polynom ? ...selber effekt ? smile
liliteeps Auf diesen Beitrag antworten »

gut ..

also es ergibt sich nun zum schluss das
die geometrischen vielfachheiten gleich den algebraischen vielfachheiten sind ,somit ist die matrox diagonalisierbar=)

*puh* Tanzen
Shortstop Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von liliteeps
gut ..

also es ergibt sich nun zum schluss das
die geometrischen vielfachheiten gleich den algebraischen vielfachheiten sind ,somit ist die matrox diagonalisierbar=)

*puh* Tanzen


Na also =)
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