Splines - konvexe Hülle

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jdk33 Auf diesen Beitrag antworten »
Splines - konvexe Hülle
Angenommen ich habe folgendes Kontrollpolygon, den Knotenvektor K = [0,0,0,1,2,3,4,4,4] und den Grad q = 2 gegeben.

[attach]15655[/attach]

Fragen dazu:

1) Wenn ich die Kurve zeichnen möchte, weiß ich ja, dass das Kurvenstück [x_j, x_j+1] in der Konvexen Hülle der Kontrollpunkte b_j-2, b_j-1 und b_j liegt. Wie sieht das aber für den Punkt P_4 aus? Ich weiß, wie die Kurve aussieht, aber dadurch dass P_2 bis P_4 auf einer Linie liegen, verschwindet die konvexe Hülle doch...

2) In welcher streng konvexen Hülle verläuft die Kurve für die Parameterwerte 0 - 1 oder 2-3

Ich gehe davon aus, die streng konvexe Hülle ist die konvexe Hülle mit dem kleinsten Flächeninhalt. Wie mache ich das jetzt? Muss ich mir erst passende Knotenvektoren raussuchen, also [0, 0, 0, 1] und [2, 3] und dann entscheiden, welche Kontrollpunkte alles betroffen sind? Das wären im ersten Fall nur P_0 und P_1, die konvexe Hülle wäre somit wieder verschwunden, im zweiten Fall die konvexe Hülle der Punkte P_0 - P_3
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Splines - konvexe Hülle
Hallo,

so direkt kann ich dir nicht helfen. Vielleicht könnten wir abklären, was mit streng konvexer Hülle gemeint ist? Sind dann nur nichttriviale Konvexkombinationen der Randpunkte zugelassen (Analog zu streng konvexer Funktion)? "Salopp" also nur das Innere und nicht der Rand? (Mit dem Punkten müßte es sich doch um kompakte Mengen im IR² handeln ...)

Zitat:
1) Wenn ich die Kurve zeichnen möchte, weiß ich ja, dass das Kurvenstück [x_j, x_j+1] in der Konvexen Hülle der Kontrollpunkte b_j-2, b_j-1 und b_j liegt. Wie sieht das aber für den Punkt P_4 aus? Ich weiß, wie die Kurve aussieht, aber dadurch dass P_2 bis P_4 auf einer Linie liegen, verschwindet die konvexe Hülle doch...


Was ist nun x was ist b? Und wo ist das Problem mit P4? Konntest du das mal mit konkreten Werten formulieren?
 
 
jdk33 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für deine Rückfragen.

Also so wie ich das verstanden habe, ist auf folgendem Bild links eine konvexe Menge und rechts eine streng konvexe:

[attach]15657[/attach]

Das würde dann auch bedeuten, dass der P_4 Sonderfall da rausfällt. Um mich noch durch die formale Definition, hab ich momentan leider eher weniger Zeit, weil meine Klausur bald ansteht und mir Millionen wichtiger Sachen einfallen smile
Ist aber, denke ich, auch nicht so superwichtig für die Aufgabe.

Meine x_i sind die Knoten des Knotenvektors und b_i sind die Kontrollpunkte. Wir hatten die Notation immer verwendet, deshalb hatte ich das vergessen, zu erklären.

Das Problem mit P4 ist, dass die Kontrollpunkte P_2, P_3, P_4 die konvexe Hülle aufspannen (sollen), in der die Kurve verläuft. Da diese 3 Punkte jedoch auf einer Linie liegen, verschwindet diese Hülle (oder zumindest die streng konvexe Hülle). Woher weiß ich jetzt also, wie meine Kurve in diesem Abschnitt verläuft?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die konvexe Hülle der 3 Punkte auf der Geraden ist die ganze Gerade. Also verschwindet sie nicht.

Ist das Bild aus deinem Skript? Da ist ja auch eine Definition (S.77). Leider weiß ich nicht, was T° ist.

Zitat:
Das Problem mit P4 ist, dass die Kontrollpunkte P_2, P_3, P_4 die konvexe Hülle aufspannen (sollen), in der die Kurve verläuft. Da diese 3 Punkte jedoch auf einer Linie liegen, verschwindet diese Hülle (oder zumindest die streng konvexe Hülle). Woher weiß ich jetzt also, wie meine Kurve in diesem Abschnitt verläuft?


Hier komme ich nicht mit. Was ist nun die Kurve? Von P2 über P3 nach P4 oder bei P0 beginnend bis P5?

Ich denke es ist gefragt, eine Art kleinste Obermenge anzugeben, so dass "Teile der Kurve aus Bild1I" drin liegen. Dazu müßten wir die Definition verstehen, um zu wissen, was wir angeben müssen.

Zitat:
In welcher streng konvexen Hülle verläuft die Kurve für die Parameterwerte 0 - 1 oder 2-3


Also man könnte auch imho einfach einen Kreis mit Radius so wähen, dass alle Punkte drin sind. DA läßt mir die Frage im Moment noch zu viel Freiheit... verwirrt

Ich bin nun erstmal off. Vielleicht weiß jemand anderes schon mehr Rat in der Zeit. Wink
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