Permutationen: Zyklus

04.08.2010, 16:55

Remo7

Permutationen: Zyklus

Guten Tag miteinander!

Ich stecke momentan in der Klausur-Vorbereitung und hätte eine Frage zu Zyklen.
Wie kommt man von (1, 2) ° (2, 3) auf (1, 2, 3) bzw. von (2, 3) ° (1, 2) auf (1, 3, 2) ?

Wie die Zyklenschreibweise einer m x 2-Matrix funktioniert, weiss ich.
(m: natürliche Zahl >=1 )

Besten Dank für die Auskunft!

04.08.2010, 17:10

gonnabphd

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Hi,

Man schaut sich das am besten kurz durch, würde ich mal behaupten:

$\begin{eqnarray*} (1,2) \circ (2,3): \begin{cases} 1\mapsto 1 \mapsto 2 \\ 2 \mapsto 3 \mapsto 3 \\ 3 \mapsto 2 \mapsto 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

und dann kann man mit 1 anfangen und schreibt 2 daneben (weil 1 auf 2 abgebildet wird), und 2 wird auf 3 abgebildet und 3 auf 1: also (123)

Edit: Das alles kann man natürlich im Kopf machen.

Gruss. Wink

04.08.2010, 17:34

Remo7

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Ookey..
Irgendwie blick ich da noch nicht ganz durch:
Nehmen wir das zweite Beispiel: (2,3)°(1,2) = (1,3,2).

Die 2 wird abgebildet auf 1 sowie 3, die 3 wird abgebildet auf 2. (?)

Hättest du evtl. andere Beispiele, bei welchen das Vorgehen offensichtlicher ist?

Herzlichen Dank!
Gruss..

04.08.2010, 18:14

gonnabphd

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Also, ich schreib dir mal ein besseres Beispiel hin:

$\begin{eqnarray*} (12)(132)(123) \end{eqnarray*}$

Jetzt fängst du mit $\begin{eqnarray*} (1\ldots \end{eqnarray*}$ an und schaust dir an worauf das abgebildet wird (einfach von rechts nacht links durchgehen)

$\begin{eqnarray*} 1\underbrace{\mapsto}_{\text{über }(123)} 2 \underbrace{\mapsto}_{\text{über }(132)}1 \underbrace{\mapsto}_{\text{über }(12)} 2 \end{eqnarray*}$

Damit hat man schonmal $\begin{eqnarray*} (12 \ldots \end{eqnarray*}$ herausgefunden. Jetzt das gleiche Spielchen mit 2 gemacht und man bekommt $\begin{eqnarray*} (121\ldots \end{eqnarray*}$ damit ist also der erste Zyklus des Produkts schon beendet (und gleich $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ ). Nun bleibt noch die 3 übrig. Und wie man sieht, wird sie - wie erwartet - auf sich selbst abgebildet.

Nun versuch dich mal an:

$\begin{eqnarray*} (132)(321) \end{eqnarray*}$

und genauso leicht geht dann auch das folgende (wenn du verstanden hast wie's geht):

$\begin{eqnarray*} (45123)(245)(1423)(12)(32) \end{eqnarray*}$

04.08.2010, 18:23

jester.

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Beachte, dass manche Leute Permutationen auch von links nach rechts "multiplizieren". Ich bevorzuge allerdings auch die Rechnung von rechts aus, da ich das ganze als Hintereinanderausführung von Abbildungen ansehe.

05.08.2010, 00:22

Remo7

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Besten Dank für eure Bemühungen!

Ich bin nach wie vor unsicher. Deshalb verbalisiere ich jeweils, was ich gemacht habe:

zu: (132)(321):
Die 3 geht auf die 2, die 2 auf die 1, die 1 würde wieder auf die 3 gehen --> (321)

zum letzten Beispiel:
Die 3 geht auf die 2, die 2 auf die 1, die 1 auf die 4, die 4 auf die 5, die 5 wiederum auf die 1 --> (32145)

Stimmt das so, oder eben nicht?

05.08.2010, 06:20

gonnabphd

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Hi,

Das stimmt noch nicht ganz. Am besten tasten wir uns da wohl Schritt für Schritt ran.

Mal ein paar Kontrollfragen (damit man sieht, woran's denn liegt):
1)
a) Ist dir bewusst, dass jeder Zyklus eine abkürzende Darstellung einer Permutation ist?
b) Stelle folgende Permutation in Zyklenschreibweise dar:

$\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}1 & 2 & 3&4&5 \\ 3 & 4&5&1&2 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

2) Wie sieht die Permutation aus für den Zyklus (1432), wenn die Menge, welche permutiert wird, 5 Elemente hat?

3)
a) Auf welches Element wird die 1 durch folgenden Zyklus abgebildet? (321)
b) Auf welches Element wird die 2 abgebildet?
c) Auf welches Element wird die 3 abgebildet?

4)
a) Auf welches Element wird die 1 durch folgenden Zyklus abgebildet? (132)
b) Auf welches Element wird die 2 abgebildet?
c) Auf welches Element wird die 3 abgebildet?

Bezeichnet man nun die durch den Zyklus in 3) beschriebene Permutation durch $\begin{eqnarray*} \sigma_1 \end{eqnarray*}$ und die durch 4) beschriebene Permutation durch $\begin{eqnarray*} \sigma_2 \end{eqnarray*}$ , so kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} (132)(321) = \sigma_2 \circ \sigma_1 \end{eqnarray*}$

5) Worauf wird nun die 1 abgebildet? Worauf die 2? Worauf die 3?
6) Welcher Permutation entspricht das also (angenommen wir permutieren auf einer Menge von 3 Elementen)? Und wie kann man diese Permutation in Zyklenschreibweise darstellen?

Wink

05.08.2010, 09:37

Remo7

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Hallo! =)

Wow..danke für die vielen Kontrollfragen!

1.a) Ja.
b) (13524)

2.) $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}1 & 2 & 3&4&5 \\ 4 & 1&2&3&5 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

3.a) Die 1 wird auf die 2 abgebildet.
b) 2 auf 1
c) 3 auf 2

4.a) 1 auf 3
b) 2 auf 1
c) 3 auf 2

5.) 1 --> 3 --> 2
2 --> 1 --> 3
3 --> 2 --> 1

6.) $\begin{eqnarray*} \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3&1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
In Zyklenschreibweise wäre dies: (123)

Ich hoffe, die Lösungen stimmen..mein Gefühl diesbezüglich ist auf jeden Fall gut.. =)
Vielen Dank für die tollen "Denk- und Versteh-"Aufgaben!

05.08.2010, 09:59

Remo7

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Eine Frage bezüglich Fixpunktmenge habe ich noch:
Ist die Fixpunktmenge in Beispiel 2 einfach {5} ?

Gruss und besten Dank!

05.08.2010, 10:33

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Eine Frage bezüglich Fixpunktmenge habe ich noch:
Ist die Fixpunktmenge in Beispiel 2 einfach {5} ?

Ja, das ist korrekt.

Ich glaube bei 3) hast du dich verschrieben (jedenfalls ist alles andere perfekt! Augenzwinkern

)

Zitat:

3.a) Die 1 wird auf die 2 abgebildet. *1 wird auf 3 abgebildet
b) 2 auf 1
c) 3 auf 2

Also, nun weiss ich jedoch auch nicht so genau, wieso dass es hier klappt und vorhin noch nicht geklappt hat, denn in 6) hast du ja erfolgreich

$\begin{eqnarray*} (132)(321) = (123) \end{eqnarray*}$

berechnet. (Verstehst du jetzt vielleicht besser, was ich dir in meinen Posts oben erklären wollte?)
Wenn du glaubst verstanden zu haben, wie man vorgeht, dann versuch mal

$\begin{eqnarray*} (45123)(245)(1423)(12)(32) \end{eqnarray*}$

zu berechnen.

Gruss. Wink

05.08.2010, 13:15

Remo7

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Ach ja, die korrigierte 3:
1 --> 3
2 --> 1
3 --> 2

Ich hatte gestern wohl einfach einen Knoten, oder mir war noch nicht bewusst, was hinter der Zyklenschreibweise dahinter steckt..

Diese Aufgaben haben mir nun aber sehr geholfen, das Thema der Permutationen zu verstehen =)

Zum letzten Beispiel:
1 --> 2 --> 3 --> 4
2 --> 3 --> 1
3 --> 2 --> 1 --> 4 --> 5 --> 1
4 --> 2
5 --> 2 --> 3

Hier mache ich noch Fehler, denn es ist nicht möglich, dass zweimal auf das gleiche Element (1) abgebildet wird..

05.08.2010, 13:23

gonnabphd

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Beim zweiten wird z.B. die 1 noch einmal weiter abgebildet. Probier's nochmal.

05.08.2010, 18:47

Remo7

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YES, ich habs =)
..und wieder weiss ich nicht genau, an was ich studiert habe :S

1 --> 4
2 --> 2
3 --> 1
4 --> 5
5 --> 3

Was folgende Zyklusschreibweise ergibt:
(1453)(2)

..die (2) könnte man auch weglassen - ich schreibe sie in meinen Notationen aber immer..
Stimmt das so?

05.08.2010, 19:09

gonnabphd

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Na, so lässt sich das doch sehen! Freude

Gruss.

25.06.2013, 15:40

Exatex

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Danke gonnabphd, hat mir sehr geholfen, auch 3 Jahre später! smile

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