Mengenlehre: Distributivität

05.08.2010, 15:59

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Mengenlehre: Distributivität

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe eine Frage bezüglich des Beweisens der Distributivität von Mengen mittels Wahrheitstabellen:

Ich habe den beweis selber zwar verstanden und auch selbst zusammengefasst, nur frage ich mich warum man mittels identischen Wahrheitswerten nachweisen kann, dass das Distributivgesetz für jede Menge gilt, denn was kann an einem Wert welchen man A,B oder C einsetzt falsch beziehungsweise wahr sein? Es handelt sich beim Distributivgestz zwar um zwei Aussagen, jedoch kann ein Wert welchen man für die Mengen einsetzt nicht wahr beziehungsweise falsch sein oder doch?
Bisher verstand ich die Wahrheitstabellen nur für Aussagen und Frage mich daher warum sie das Gesetz auch für Werte beweist?

Ich weiß, dass meine Frage schwer zu verstehen ist, jedoch wäre ich für eine Antwort sehr dankbar, da mich dieses Thema sehr interessiert.

Danke,

Helmut

Meine Ideen:
k/a

06.08.2010, 00:08

giles

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Was ist denn "Distributivität von Mengen"? Das hier?

$\begin{eqnarray*} A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C) \end{eqnarray*}$

06.08.2010, 10:46

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Beweis (Distributivgesetz)
Ja genau. Im Anhang ist der Beweis. Ich hoffe ich habe keinen Fehler gemacht.

06.08.2010, 10:58

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RE: Beweis (Distributivgesetz)
Meiner Auffassung nach, beweist dies nur die angegebene Gesetzmäßigkeit für Aussagen A,B und C jedoch nicht für Werte. Wie kann man zeigen dass die Aussagen ebenfalls für alle Mengen gelten?

Danke

06.08.2010, 11:53

Leopold

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Die Mengenoperationen $\begin{eqnarray*} \cap,\cup \end{eqnarray*}$ werden in die Aussagenoperationen $\begin{eqnarray*} \wedge,\vee \end{eqnarray*}$ übersetzt: $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ ist eine Aussage, die man mit "wahr" oder "falsch" belegen kann.

Vielleicht ein Beispiel

$\begin{eqnarray*} A = \{ 1,2,3 \} \, , \ \ B = \{ 2,4,6 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in A \cap B \end{eqnarray*}$ ist nun definitionsgemäß äquivalent zu $\begin{eqnarray*} (x \in A) \wedge (x \in B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in A \cup B \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (x \in A) \vee (x \in B) \end{eqnarray*}$ , etwa

$\begin{eqnarray*} \neg \left( 3 \in A \cap B \right) \end{eqnarray*}$ , was man kürzer $\begin{eqnarray*} 3 \not \in A \cap B \end{eqnarray*}$ schreibt:

$\begin{eqnarray*} 3 \in A \end{eqnarray*}$ : wahr
$\begin{eqnarray*} 3 \in B \end{eqnarray*}$ : falsch

$\begin{eqnarray*} \left( 3 \in A \right) \wedge \left( 3 \in B \right) \end{eqnarray*}$ : falsch

$\begin{eqnarray*} \neg \left( \left( 3 \in A \right) \wedge \left( 3 \in B \right) \right) \end{eqnarray*}$ : wahr

06.08.2010, 16:12

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Danke Leopold, mein Problem ist gelöst.

Eine Frage habe ich noch, und zwar zur Implikation!

Es erscheint mir zwar logisch wenn die Grundvorraussetzung falsch ist, dass es egal ist was danach steht, jedoch frage ich mich warum man es immer als richtig definiert hat.
Wenn ich aus etwas falschen etwas falsches folgere kann es für mich richtig sein.

Folgendes Beispiel dazu:

Wenn 5=3 dann folgere ich dass 7=5.

Am ersten Blick leuchtet einem ein dass diese Folgerung richtig sein muss, jedoch kann man genauso sagen

Wenn 5=3 dann 7=4.2.
Denn 5:3= 1,66666... und 7 durch 1,666... ist 4,2

Dieses Bespiel geht mir andauernd durch den Kopf! Und nun frage ich welche Aussage ist richtig?

Und die Aussage aus etwas falschen etwas richtiges zu folgern erscheint mir irgendwie falsch.

Wieder ein Beispiel

Wenn 5=3 dann 7=7.
Nun entdecke ich jedoch keinen mathematisch richtige Gelegenheit um zu folgern ohne falsch zu folgern.

Ich hoffe ihr könnt mir nocheinmal helfen.

Danke

06.08.2010, 16:50

kiste

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5=3
Multiplizieren auf beiden Seiten mit 0 und addieren von 7 auf beiden Seiten smile

06.08.2010, 16:57

Leopold

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Was heißt es denn, daß $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ folgt, also $\begin{eqnarray*} A \to B \end{eqnarray*}$ ?
Doch, daß Folgendes nicht sein kann: daß nämlich zwar $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aber nicht. Man hat also die Äquivalenz (du kannst das erste als Definition auffassen):

$\begin{eqnarray*} A \to B \ \equiv \ \neg \left( A \wedge \neg B \right) \ \equiv \ \neg A \vee B \end{eqnarray*}$

06.08.2010, 21:00

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Was ist jedoch mit meinem angeführten Beispiel Nr. 1?

06.08.2010, 22:06

giles

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Zitat:

Was ist jedoch mit meinem angeführten Beispiel Nr. 1?

Aus falschem folgt beliebiges oder was meinst du?

Nehmen wir an $\begin{eqnarray*} 5= 3 \end{eqnarray*}$ (Aussage I).
Aus der Defintion von 5 bzw. 3 folgt $\begin{eqnarray*} 5\neq 3 \end{eqnarray*}$ (Aussage II).

Sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine beliebige Aussage, dann

$\begin{eqnarray*} 5=3 \end{eqnarray*}$ ist wahr (Aussage I)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 5=3 \end{eqnarray*}$ ist wahr oder $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist wahr

$\begin{eqnarray*} \underset{5\neq 3 \text{(Aussage II)}}{\Rightarrow} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist wahr

Mathematische Äquivalenzumformungen oder "Gleichungen teilen" sind nur ein spezieller Spezialfall von logischem Folgern.

07.08.2010, 22:53

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Danke sehr vielmals für eure Hilfe!

Es heißt ja: "Egal was danach steht, wenn die Grundvorraussetzung falsch ist, ist die Aussage ist immer richtig"

Dieses Zitat sieht man eindeutig an meinem Beispiel:

Wenn 5=3 dann 7= 5 (Da 3 um 2 kleiner ist als 5 folgert man dass 7 ebenfalls um 2 kleiner sein muss.)

Als zweite Option kann man behaupten:

Wenn 5=3 dann 7=4.2 (Da 5 geteilt durch 1,6 periodisch 3 ergibt folgert man dass man sieben auch durch 1,6periodisch teilen muss was 4.2 ergibt)

Als dritte Option kann man behaupten:

Wenn 5=3 dann 7=7 (Denn wie "kiste" bereits erwähnte kann man beide Seiten mit Null multiplizieren und 7 addieren)

Bei den 3 angeführten Beispielen ist immer die Grundvorraussetzung falsch die Implikation jedoch immer richtig.

Ich verstehe nicht warum ich machmal nicht gleich am Anfang sehe warum gewisse Zusammenhänge gelten.

Danke an alle

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