Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage

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tuho Auf diesen Beitrag antworten »
Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage
Hallo zusammen,

zurzeit hänge ich an dem thema meiner FA fest:
Die Cardanische Formel

nun hab ich einige fragen zur herleitung:

man beginnt ja mit der allgemeinen form der kubischen gleichung



mit reellen r,s,t und komplexem x

nun substituiert man



nun stellt sich die frage wieso ersetzt man dies ? nun erhält man die reduzierte form der kubischen gleichung

beim 2.schritt zerlegt man die gleichung in 2 bestandteile und löst das GLS

wieso setzt man nun y=u+v?

ich bräuchte hierfür wenigstens einen brauchbaren grund ...

ich war schon in der staatsbibliothek aber auch dort in der literatur findet man keine gründe wieso man substitiuiert...

ich hab noch einige andere fragen aber die kommen dann nachdem erstmal die beiden fragen hier beantworten sind ;D

danke schon mal im voraus
tuan
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Bitte des Threaderstellers diesen hier wieder geöffnet und statt dessen den Doppelpost in der Schulmathe geschlossen...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die besten Gründe für die Herleitung der Cardanischen Formeln findest du in der Galoistheorie. Siehe z.B. Siegfried Bosch, "Algebra", Springer Verlag.
Bis du diese Gründe erforscht hast, wird aber - je nach deinem Vorwissen - sehr viel Zeit notwendig sein.
tuho Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage
ok danke wie soll ich des dann in meine FA schreiben xD
Iridium Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage
Zitat:
Original von tuho
ich war schon in der staatsbibliothek aber auch dort in der literatur findet man keine gründe wieso man substitiuiert...


Der triviale Grund ist "weil es zweckmäßig ist". Die Begründung liefert, sozusagen im Nachhinein, dein Ergebnis, d.h. die Lösung der kubischen Gleichung, die anderenfalls nicht möglich wäre.

Was Elvis angesprochen hat, geht zwar tiefer, beantwortet aber meines Erachtens primär auch eine ganz andere Frage, nämlich das kubische Gleichungen überhaupt eine Lösung in geschlossener Form haben, und weniger wie man genau darauf kommt (d.h. durch welches Kalkül).

Im übrigen kann man ja trotzdem auf die Galoistheorie verweisen und die Kerngedanken vielleicht qualitativ wiedergeben? Das machen vermutlich die meisten so, wenn es sonst zu schwierig wird. Die "schmutzigen" Details sind ja wirklich bereits an zig Stellen bearbeitet worden. Das in Facharbeiten auf ewig wiederzukäuen, faktisch aber einfach irgendwo "abzupinnen" (selbst auf hohem Niveau), erscheint mir dann eh sinnlos, außer natürlich man nimmt wirklich etwas für sich selbst mit.

Gruß
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage
Deine Fragen sind schwer zu beantworten, weil sie so unspezifisch sind.

Zitat:
nun stellt sich die frage wieso ersetzt man dies ? nun erhält man die reduzierte form der kubischen gleichung

Du gibst ja selbst die Antwort, nämlch um auf die reduzierte Form zu kommen. Wenn ein Term fehlt, hier der quadratische, erscheinen die Aussichten, eine Lösungsformel zu finden, einfach höher.

Zitat:
wieso setzt man nun y=u+v?

Da hat es nach heftigem Nachdenken und sicher vielen vergeblichen Versuchen irgendwann einmal Click gemacht: Das könnte zu einer Lösungsformel führen. Kern war wohl die Entdeckung, dass man die binomische Formel



auch in der Form



kann. Darauf ist man durch geometrische Überlegungen gekommen. Hat man das erst mal dastehen, ist die Verbindung zur reduzierten Form der kubischen Gleichung naheliegend.
 
 
tuho Auf diesen Beitrag antworten »

danke Big Laugh

dann werd ich in meiner FA sozusagen das ergebnis als grund angeben wieso man so substituiert Big Laugh

es folgen noch weitere fragen =D
aber morgen erst wenn ich wirklich nicht weiter komme xD
tuho Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage
Zitat:
Original von Huggy

Zitat:
wieso setzt man nun y=u+v?

Da hat es nach heftigem Nachdenken und sicher vielen vergeblichen Versuchen irgendwann einmal Click gemacht: Das könnte zu einer Lösungsformel führen. Kern war wohl die Entdeckung, dass man die binomische Formel



auch in der Form



kann. Darauf ist man durch geometrische Überlegungen gekommen. Hat man das erst mal dastehen, ist die Verbindung zur reduzierten Form der kubischen Gleichung naheliegend.


kannst du des mir mal geometrisch erklären bzw mit einer skizze oder ähnlichem
danke Big Laugh
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage
Zitat:
Original von tuho


Für u=3 und v=1:
Der 4x4x4-Würfel setzt sich zusammen aus 2 Würfeln und 6 Quadern:

[attach]15711[/attach]

(Bild erzeugt mit Applet)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage
wisili hat dir ein Bild zu der Formel



beigefügt. Das Bild zu der umgeschriebenen Formel



sieht so aus:

Rechts vorne ist ein Würfel u^3. An den ist links, hinten und oben ein Quader mit den Abmessungen uv(u+v) angeheftet. Der linke Quader steht nach oben über. Der hintere Quader steht nach links über. Der obere Quader steht nach hinten über. Hinten, links, oben ist dann gerade Platz für einen Würfel v^3. Zusammen ergibt das den Würfel (u + v)^3.
tuho Auf diesen Beitrag antworten »

hallo
nun habe ich wieder eine frage

ich hab nun die card. formel hergeleitet aber komme bei dem letzten schritt mit den lösungen nich klar bzw verstehe den schritt nicht





und nun wie kommt man auf die lösung zb für
und




und



eine weitere frage wäre wieso




hier ein minus plus und nicht plus minus ist und bei
ein plus minus ist was ist da der unterschied ?

danke danke
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem obigen Ansatz ergeben sich und als Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:



Welche davon man nennt und welche , ist egal. Zum Beispiel:





Das weitere hängt nun davon ab, ob man schon die komplexen Zahlen zur Verfügung hat oder nicht. Hat man schon die komplexen Zahlen zur Verfügung, weiß man, dass die Gleichung



3 komplexe Lösungen hat. Diese bekommt man, indem man eine der Lösungen mit den 3 komplexen Wurzeln aus 1 multipliziert. Man kann aber nicht beliebige der je 3 Lösungen für u und v kombinieren, um die Lösungen der ursprunglichen Gleichung zu bekommen. Man bekommt die 3 Lösungen der ursprünglichen Gleichung durch







Dabei sind u und v zueinander komplex konjugiert zu nehmen. So erreicht man, dass u + v reell wird. Jede kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat ja mindestens eine reelle Lösung Lösung. 1, , sind die driitten Einheitswurzeln.

Dass jede dieser Kombinationen eine Lösung ist, zeigt man am besten durch Einsetzen und Nachrechnen.

Hat man die komplexen Zahlen noch nicht zur Verfügung, wird man durch den casus irreduzibilis, also den Fall der kubischen Gleichung mit 3 reellen Lösungen, zu ihnen geführt, da in diesem Fall die Cardanische Formel anscheinend nicht zum Ziel führt, weil man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen muss.
tuho Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Mit dem obigen Ansatz ergeben sich und als Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:



Welche davon man nennt und welche , ist egal.


was is das ?


Zitat:
Original von Huggy



was is das zeta??? bzw wo kommt das her ?





denn meine frage war ja

wie man auf das



kommt
also das alles vor dem
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tuho
was is das ?

Das steht doch da. w steht wahlweise für bzw. .

Zitat:
denn meine frage war ja

wie man auf das



kommt
also das alles vor dem

Sei eine Löung von



und eine dritte Einheitswurzel, d. h.



Dann sind auch und Lösungen von (*). Denn





Und dass



eine dritte Einheitswurzel ist, kann man leicht herleiten oder einfach nachrechnen. Ebenso, dass dann gilt:

tuho Auf diesen Beitrag antworten »

DANKE Big Laugh

nun noch eine frage D:

bei kubischen gleichungen muss es ja immer mind. eine reelle lsg geben bis zu 3 reellen...
aber wie soll ich die mgl mit 1 reellen NS und 1 paar konjugiert komplexer NS GRAPHISCH darstellen.
bei der angehängten datei zb wo sind da die konjugiert komplexen NS
also wo müsste ich die markieren wenn ich so einen schwarzen punkt machen würde für NS

vielen dank ihr seid die besten alle die mir helfen Big Laugh

[attach]17171[/attach]
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das geht meines Erachtens leider nicht auf sinnvolle Art und Weise.
tuho Auf diesen Beitrag antworten »

ok und wie müsste ich des beschreiben ? also damit man als laie des versteht dass da noch 2 komplexe NS vorhanden sind?
soll ich des dann ungefähr so schreiben: zur einfachen NS kommen noch 2 konjugiert komplexe NSn die im imaginären bereich zu finden sind/ die in richtung der imaginären achse die abszisse schneiden???

also um ehrlich zu sein ich kann mir die beiden konj. komplexen NS nicht vorstellen deshalb hab ich auch grad keine ahnung wie ich sowas formulieren soll...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Man wird dies als Laie nicht plötzlich verstehen können, nur weil da plötzlich zwei zusammenhanglose Punkte in der Skizze auftauchen. Die Tatsache, dass jedes Polynom über den komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt, ist bei weitem keine Trivialität, die sich in diese Skizze einbauen lässt.

Was das Vorstellen angeht: Ich kann mir diese zwei Nullstellen dieses Polynoms auch nicht vorstellen, aber wozu auch? Man muss ja nur wissen, dass sie da sind und dass/wie man mit ihnen arbeiten kann.
tuho Auf diesen Beitrag antworten »

und wie schreibe ich das in meine FA geschockt verwirrt

einfach als eine tatsache die ich dann zitiere ?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke die Tatsache, dass algebraisch abgeschlossen ist (so nennt man diese Eigenschaft auch), kannst du als allgemeine Tatsache in deiner Facharbeit zitieren.
Das ganze Resultat läuft auch unter "Fundamentalsatz der Algebra", du könntest also http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra zitieren.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Komplexe Nullstellen und der reelle Graph einer Funktion sind zwei Dinge, die nicht zusammenpassen. In einem komplexen Graphen (mit 2 komplexen «Achsen», also 4 reellen Dimensionen, z.B. als Film einer dynamischen Fläche im Raum) hätten komplexe Nullstellen sehr Wohl ihren Platz.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt Möglichkeiten, alle Nullstellen einschließlich der komplexen darzustellen. Das erfordert aber eine andere Art von Diagramm, z. B. mittels Niveaulinien. Das Zeichenblatt ist dabei die komplexe Zahlenebene. In die zeichnet man Kurven ein, auf denen gilt:

mit c >= 0 und reell.

f(z) ist eine komplexe Funktion. Die Kurven entsprechen den Höhenlinien in einer geographischen Karte.

Beispiel:



Das Polynom hat die Nullstellen



In dem Bild gilt für die innerste Niveauline und für die äußerste . Man kann die Position der Nullstellen schön erkennen.
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