Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage |
08.08.2010, 17:33 | tuho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage zurzeit hänge ich an dem thema meiner FA fest: Die Cardanische Formel nun hab ich einige fragen zur herleitung: man beginnt ja mit der allgemeinen form der kubischen gleichung mit reellen r,s,t und komplexem x nun substituiert man beim 2.schritt zerlegt man die gleichung in 2 bestandteile und löst das GLS wieso setzt man nun y=u+v? ich bräuchte hierfür wenigstens einen brauchbaren grund ... ich war schon in der staatsbibliothek aber auch dort in der literatur findet man keine gründe wieso man substitiuiert... ich hab noch einige andere fragen aber die kommen dann nachdem erstmal die beiden fragen hier beantworten sind ;D danke schon mal im voraus tuan |
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08.08.2010, 17:38 | Calvin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nach Bitte des Threaderstellers diesen hier wieder geöffnet und statt dessen den Doppelpost in der Schulmathe geschlossen... |
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08.08.2010, 17:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die besten Gründe für die Herleitung der Cardanischen Formeln findest du in der Galoistheorie. Siehe z.B. Siegfried Bosch, "Algebra", Springer Verlag. Bis du diese Gründe erforscht hast, wird aber - je nach deinem Vorwissen - sehr viel Zeit notwendig sein. |
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08.08.2010, 18:00 | tuho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage ok danke wie soll ich des dann in meine FA schreiben xD |
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08.08.2010, 18:24 | Iridium | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage
Der triviale Grund ist "weil es zweckmäßig ist". Die Begründung liefert, sozusagen im Nachhinein, dein Ergebnis, d.h. die Lösung der kubischen Gleichung, die anderenfalls nicht möglich wäre. Was Elvis angesprochen hat, geht zwar tiefer, beantwortet aber meines Erachtens primär auch eine ganz andere Frage, nämlich das kubische Gleichungen überhaupt eine Lösung in geschlossener Form haben, und weniger wie man genau darauf kommt (d.h. durch welches Kalkül). Im übrigen kann man ja trotzdem auf die Galoistheorie verweisen und die Kerngedanken vielleicht qualitativ wiedergeben? Das machen vermutlich die meisten so, wenn es sonst zu schwierig wird. Die "schmutzigen" Details sind ja wirklich bereits an zig Stellen bearbeitet worden. Das in Facharbeiten auf ewig wiederzukäuen, faktisch aber einfach irgendwo "abzupinnen" (selbst auf hohem Niveau), erscheint mir dann eh sinnlos, außer natürlich man nimmt wirklich etwas für sich selbst mit. Gruß |
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08.08.2010, 19:26 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage Deine Fragen sind schwer zu beantworten, weil sie so unspezifisch sind.
Du gibst ja selbst die Antwort, nämlch um auf die reduzierte Form zu kommen. Wenn ein Term fehlt, hier der quadratische, erscheinen die Aussichten, eine Lösungsformel zu finden, einfach höher.
Da hat es nach heftigem Nachdenken und sicher vielen vergeblichen Versuchen irgendwann einmal Click gemacht: Das könnte zu einer Lösungsformel führen. Kern war wohl die Entdeckung, dass man die binomische Formel auch in der Form kann. Darauf ist man durch geometrische Überlegungen gekommen. Hat man das erst mal dastehen, ist die Verbindung zur reduzierten Form der kubischen Gleichung naheliegend. |
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08.08.2010, 21:33 | tuho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke dann werd ich in meiner FA sozusagen das ergebnis als grund angeben wieso man so substituiert es folgen noch weitere fragen =D aber morgen erst wenn ich wirklich nicht weiter komme xD |
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11.08.2010, 21:29 | tuho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage
kannst du des mir mal geometrisch erklären bzw mit einer skizze oder ähnlichem danke |
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11.08.2010, 21:42 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage
Für u=3 und v=1: Der 4x4x4-Würfel setzt sich zusammen aus 2 Würfeln und 6 Quadern: [attach]15711[/attach] (Bild erzeugt mit Applet) |
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12.08.2010, 09:01 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Cardanische Formel - Herleitung und Anwendung Frage wisili hat dir ein Bild zu der Formel beigefügt. Das Bild zu der umgeschriebenen Formel sieht so aus: Rechts vorne ist ein Würfel u^3. An den ist links, hinten und oben ein Quader mit den Abmessungen uv(u+v) angeheftet. Der linke Quader steht nach oben über. Der hintere Quader steht nach links über. Der obere Quader steht nach hinten über. Hinten, links, oben ist dann gerade Platz für einen Würfel v^3. Zusammen ergibt das den Würfel (u + v)^3. |
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11.12.2010, 12:36 | tuho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo nun habe ich wieder eine frage ich hab nun die card. formel hergeleitet aber komme bei dem letzten schritt mit den lösungen nich klar bzw verstehe den schritt nicht und nun wie kommt man auf die lösung zb für und und eine weitere frage wäre wieso hier ein minus plus und nicht plus minus ist und bei ein plus minus ist was ist da der unterschied ? danke danke |
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11.12.2010, 15:30 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit dem obigen Ansatz ergeben sich und als Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung: Welche davon man nennt und welche , ist egal. Zum Beispiel: Das weitere hängt nun davon ab, ob man schon die komplexen Zahlen zur Verfügung hat oder nicht. Hat man schon die komplexen Zahlen zur Verfügung, weiß man, dass die Gleichung 3 komplexe Lösungen hat. Diese bekommt man, indem man eine der Lösungen mit den 3 komplexen Wurzeln aus 1 multipliziert. Man kann aber nicht beliebige der je 3 Lösungen für u und v kombinieren, um die Lösungen der ursprunglichen Gleichung zu bekommen. Man bekommt die 3 Lösungen der ursprünglichen Gleichung durch Dabei sind u und v zueinander komplex konjugiert zu nehmen. So erreicht man, dass u + v reell wird. Jede kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat ja mindestens eine reelle Lösung Lösung. 1, , sind die driitten Einheitswurzeln. Dass jede dieser Kombinationen eine Lösung ist, zeigt man am besten durch Einsetzen und Nachrechnen. Hat man die komplexen Zahlen noch nicht zur Verfügung, wird man durch den casus irreduzibilis, also den Fall der kubischen Gleichung mit 3 reellen Lösungen, zu ihnen geführt, da in diesem Fall die Cardanische Formel anscheinend nicht zum Ziel führt, weil man die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen muss. |
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13.12.2010, 01:43 | tuho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was is das ?
denn meine frage war ja wie man auf das kommt also das alles vor dem |
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13.12.2010, 09:22 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das steht doch da. w steht wahlweise für bzw. .
Sei eine Löung von und eine dritte Einheitswurzel, d. h. Dann sind auch und Lösungen von (*). Denn Und dass eine dritte Einheitswurzel ist, kann man leicht herleiten oder einfach nachrechnen. Ebenso, dass dann gilt: |
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15.12.2010, 21:04 | tuho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
DANKE nun noch eine frage D: bei kubischen gleichungen muss es ja immer mind. eine reelle lsg geben bis zu 3 reellen... aber wie soll ich die mgl mit 1 reellen NS und 1 paar konjugiert komplexer NS GRAPHISCH darstellen. bei der angehängten datei zb wo sind da die konjugiert komplexen NS also wo müsste ich die markieren wenn ich so einen schwarzen punkt machen würde für NS vielen dank ihr seid die besten alle die mir helfen [attach]17171[/attach] |
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15.12.2010, 21:08 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das geht meines Erachtens leider nicht auf sinnvolle Art und Weise. |
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15.12.2010, 21:27 | tuho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok und wie müsste ich des beschreiben ? also damit man als laie des versteht dass da noch 2 komplexe NS vorhanden sind? soll ich des dann ungefähr so schreiben: zur einfachen NS kommen noch 2 konjugiert komplexe NSn die im imaginären bereich zu finden sind/ die in richtung der imaginären achse die abszisse schneiden??? also um ehrlich zu sein ich kann mir die beiden konj. komplexen NS nicht vorstellen deshalb hab ich auch grad keine ahnung wie ich sowas formulieren soll... |
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15.12.2010, 22:51 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man wird dies als Laie nicht plötzlich verstehen können, nur weil da plötzlich zwei zusammenhanglose Punkte in der Skizze auftauchen. Die Tatsache, dass jedes Polynom über den komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerfällt, ist bei weitem keine Trivialität, die sich in diese Skizze einbauen lässt. Was das Vorstellen angeht: Ich kann mir diese zwei Nullstellen dieses Polynoms auch nicht vorstellen, aber wozu auch? Man muss ja nur wissen, dass sie da sind und dass/wie man mit ihnen arbeiten kann. |
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15.12.2010, 22:55 | tuho | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und wie schreibe ich das in meine FA einfach als eine tatsache die ich dann zitiere ? |
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15.12.2010, 23:16 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich denke die Tatsache, dass algebraisch abgeschlossen ist (so nennt man diese Eigenschaft auch), kannst du als allgemeine Tatsache in deiner Facharbeit zitieren. Das ganze Resultat läuft auch unter "Fundamentalsatz der Algebra", du könntest also http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra zitieren. |
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16.12.2010, 09:06 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Komplexe Nullstellen und der reelle Graph einer Funktion sind zwei Dinge, die nicht zusammenpassen. In einem komplexen Graphen (mit 2 komplexen «Achsen», also 4 reellen Dimensionen, z.B. als Film einer dynamischen Fläche im Raum) hätten komplexe Nullstellen sehr Wohl ihren Platz. |
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16.12.2010, 10:18 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt Möglichkeiten, alle Nullstellen einschließlich der komplexen darzustellen. Das erfordert aber eine andere Art von Diagramm, z. B. mittels Niveaulinien. Das Zeichenblatt ist dabei die komplexe Zahlenebene. In die zeichnet man Kurven ein, auf denen gilt: mit c >= 0 und reell. f(z) ist eine komplexe Funktion. Die Kurven entsprechen den Höhenlinien in einer geographischen Karte. Beispiel: Das Polynom hat die Nullstellen In dem Bild gilt für die innerste Niveauline und für die äußerste . Man kann die Position der Nullstellen schön erkennen. |
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