Polynomdivision über beliebigen Körpern

09.08.2010, 00:42

JayT

Polynomdivision über beliebigen Körpern

Hi,

ich stehe vor einer Aufgabe zur Polynomdivision, bei der ich eine kurze Hilfe benötige. Polynomdivision, wie man sie aus der Schule kennt, ist mir klar, jedoch muss ich dies nun über einem anderen Körper durchführen.

Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray*} K = \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K = \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ jeweils Polynome q(x) und r(x) aus $\begin{eqnarray*} K[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x^5+x+1 = q(x)*(x^2+1)+r(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} grad(r)<2 \end{eqnarray*}$ .

Die Lösungen sind:

$\begin{eqnarray*} x^5+x+1=(x^3-x)(x^2+1)+2x+1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x^5+x+1=(x^3+x)(x^2+1)+1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ .

Während mir der Rechenweg über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ziemlich klar ist, wäre ich für eine Erklärung des zweiten Ergebnisses sehr dankbar! Was muss ich bei der dortigen Rechnung beachten?

Beste Grüße

09.08.2010, 01:05

Bjoern1982

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Wenn dir der Rechenweg über IR klar ist, dann ist die Variante über F2 ja dann nur noch Anpassung der Koeffizienten.

$\begin{eqnarray*} -1\equiv ...\mod 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\equiv ...\mod 2 \end{eqnarray*}$

09.08.2010, 11:23

JayT

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Also muss ich jeden Koeffizienten mod 2 rechnen, da F2 nur die beiden Elemente 0,1 hat?

Wie wäre das bei anderen Körpern? Bei F3 z.B. mod 3?

Vielen Dank!

09.08.2010, 12:14

Bjoern1982

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Zu beiden Fragen: Ja Freude

09.08.2010, 12:28

Mystic

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Zitat:

Original von JayT
Wie wäre das bei anderen Körpern? Bei F3 z.B. mod 3?

In beliebigen endlichen Körpern $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_q \end{eqnarray*}$ gilt das nur dann, wenn q eine Primzahl ist...

09.08.2010, 12:48

JayT

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Erst einmal danke sehr!

Und was ist, wenn q keine Primzahl ist?

09.08.2010, 17:34

Iorek

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Dann handelt es sich nicht um einen Körper. Nimm dir mal als Beispiel einen Körper mit 4 Elementen. Wenn du den analog zu den $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ konstruieren willst, bekommst du Probleme bei der Multiplikation; schreib dir für die 4 Elemente schnell eine Multiplikationstabelle, da passieren Sachen die in einem Körper so nicht passieren dürfen.

Trotzdem gibt es einen Körper mit 4 Elementen, allerdings ist dieser dann anders definiert.

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