Konvergenzordnung von Runge-Kutta

09.08.2010, 14:46

earthie

Konvergenzordnung von Runge-Kutta

Hallo zusammen, habe Fragen zur Prüfungsaufgabe 2 (siehe Anhang):

meine Antworten:

a) die Verfahrensvorschrift lautet:
$\begin{eqnarray*} \Psi^{t,t+h}y = y + h*k_{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k_{1}=f(t+\theta*h,y+h*\theta*k_{1}) \end{eqnarray*}$

b) IMO:
für Theta=0 bzw. 1 erhält man expl./impl. Euler -> Konvergenzordnung 1,
für Theta= 0.5 die impl. Mittelpunktregel mit Konvergenzordnung 2.
im Lösungsvorschlag steht: Taylorentwicklung, aber welche Funktion um was?
$\begin{eqnarray*} \Psi^{t,t+h}y \end{eqnarray*}$ um h?

c) S(z)= (1+z*(theta-1))/(1-z*theta) sollte stimmen.

e) ich erhalte: A stabil für theta in [0, 0.5]

f) mit dem Ergebnis aus c) und e) wie kann ich am einfachsten L-Stabilität nachprüfuen, also |S(z)|=0 für Re(z) gegen minus unendlich (hab das Rechnen mit komplexen Zahlen schon wieder verlernt)

Danke für die Hilfe

09.08.2010, 15:31

system-agent

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Zu (a):
OK.

Zu (b):
Du musst $\begin{eqnarray*} \|\Psi^{t,t+h}y-y(t+h)\| \end{eqnarray*}$ betrachten. Für den ersten Summanden hast du das Verfahren und den Zweiten entwickelst du um $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Ich würde aber dafür anstatt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ lieber $\begin{eqnarray*} t_0 \end{eqnarray*}$ schreiben.

Zu (c):
OK.

Zu (e):
Es ist aber A-stabil für $\begin{eqnarray*} \theta>0.5 \end{eqnarray*}$ .
Suche am Besten die $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ derart, dass $\begin{eqnarray*} |S(z)|=1 \end{eqnarray*}$ . Du kriegst dann $\begin{eqnarray*} z_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2=...\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Dann überprüfe, ob $\begin{eqnarray*} |S(z_0)|<1 \end{eqnarray*}$ oder nicht für ein $\begin{eqnarray*} z_0\in[z_2,z_1] \end{eqnarray*}$ .

Zu (f):
Hier kann ich dir leider nicht helfen.

09.08.2010, 18:07

earthie

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danke für die Antwort

zu b)

Taylorentwicklung von y(t0+h) um t0:
$\begin{eqnarray*} y(t_{0}+h)=y(t_{0})+\frac{d}{dt}y(t_{0})*h+O(h^{2})=y_{0}+f(y(t_{0}))*h+O(h^{2}) \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} | \Psi^{t_{0},t_{0}+h}y_{0} - y(t_{0}+h)|=|f(y(t_{0}+\theta*h*k1)*h-f (y(t_{0}))*h+O(h^{2})| \end{eqnarray*}$

stimmt das? denn damit wäre für Konvergenzordnung 2 theta=0

10.08.2010, 09:41

system-agent

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Deine Taylorentwicklung ist OK.

Nur damit wir nicht aneinander vorbeireden:
Ich kenne die Ordnung definiert wie folgt:
Ein Verfahren $\begin{eqnarray*} \Psi^{t_0,t_0+h} \end{eqnarray*}$ hat Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , falls
$\begin{eqnarray*} \Psi^{t_0,t_0+h}-y(t_0+h)=\mathcal O(h^{p+1}) \end{eqnarray*}$
[beachte die "+1" im grossen O].

Das heisst damit ein Verfahren Ordnung 2 haben kann, dann muss die obige Differenz $\begin{eqnarray*} \mathcal O(h^3) \end{eqnarray*}$ sein.

Hattet ihr eine andere Definition?

10.08.2010, 11:21

earthie

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Stimmt,
$\begin{eqnarray*} \Psi^{t_0,t_0+h}-y(t_0+h) \end{eqnarray*}$ wurde definiert als Konsistenzfehler und
$\begin{eqnarray*} \Psi^{t_0,t_0+h}-y(t_0+h)=\mathcal O(h^{p+1}) \end{eqnarray*}$ als Konsistenzordnung p und für Einschrittverfahren somit auch als Konvergenzordnung p.

Ich hatte an eine andere Definition mittels Diskretisierungsfehler $\begin{eqnarray*} \epsilon_{G}=\max_{0\leq k\leq N} ||y(t_{k})-y_{k}|| \end{eqnarray*}$ gedacht, wo die Konvergenzordnung p ist, wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon_{G}=\mathcal O(h^{p}) \end{eqnarray*}$ für Zeitgitter G. Ist das überhaupt äquivalent?

Zitat:

Original von system-agent
Das heisst damit ein Verfahren Ordnung 2 haben kann, dann muss die obige Differenz $\begin{eqnarray*} \mathcal O(h^3) \end{eqnarray*}$ sein.

dann wäre der Konsistenzfehler also:
$\begin{eqnarray*} | \Psi^{t_{0},t_{0}+h}y_{0} - y(t_{0}+h)|=|f(y(t_{0}+\theta*h*k1)*h-f (y(t_{0}))*h-0.5*\frac{d^{2}}{dt^{2}}y(t_{0})*h^{2} +O(h^{3})| \end{eqnarray*}$

kann man dies überhaupt nach $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ auflösen?

10.08.2010, 14:21

system-agent

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Nein, die Sache mit der Konsistenz ist etwas lokales; man betrachtet die Differenz der numerischen Lösung nach einem einzigen Schritt der Weite $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und dem dortigen Wert der exakten Lösung.

$\begin{eqnarray*} \epsilon_G \end{eqnarray*}$ geht über das gesamte Gitter. Das ist der grösste Fehler den man global macht.

Man kriegt also
$\begin{eqnarray*} \Psi^{t_0,t_0+h}-y(t_0+h)=h(f(y_0+h\theta k_1)-f(y_0))-\frac{h^2}{2}f'(y_0)f(y_0)+\mathcal O(h^2) \end{eqnarray*}$ .

Nun entwickle $\begin{eqnarray*} f(y_0+h\theta k_1) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \mathcal O (h^2) \end{eqnarray*}$ und setze das ein. Das wird dir $\begin{eqnarray*} \theta=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ liefern.

10.08.2010, 15:05

earthie

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ok, wenn ich $\begin{eqnarray*} f(y_0+h\theta k_1) \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ entwickle, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f(y_0+h\theta k_1)=f(y_0)+f'(y_0)f(y_0)h\theta k_{1}+\mathcal O (h^2) \end{eqnarray*}$

also ist
$\begin{eqnarray*} \Psi^{t_0,t_0+h}-y(t_0+h)=h^{2}\theta k_{1}f'(y_0)f(y_0)-\frac{h^2}{2}f'(y_0)f(y_0)+\mathcal O(h^3) \end{eqnarray*}$ .

daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \theta k_{1}=0.5 \end{eqnarray*}$

hier ist wahrscheinlich der Fehler: k_{1} ist ja offensichtlich keine Konstante, aber wie lautet dann die Ableitung:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}f(y_{0}+h\theta k_{1}) \end{eqnarray*}$ ?

10.08.2010, 15:39

system-agent

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Deine Taylorentwicklung ist falsch. Du leitest hier nicht mehr nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ab.

Es ist:
$\begin{eqnarray*} f(y_0+h\theta k_1)=f(y_0)+(Df)_{y_0}(h\theta k_1)+\mathcal O(h^2)=f(y_0)+h\theta(Df)_{y_0}(k_1) \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} (Df)_{y_0} \end{eqnarray*}$ die Jacobimatrix von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ bezeichnet und ich habe verwendet, dass dies eine lineare Abbildung ist und dass $\begin{eqnarray*} h\theta\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Um jetzt zum Ziel zu kommen, setze das erstmal wieder in die Differenz ein und nutze dann wieder die Linearität von $\begin{eqnarray*} (Df)_{y_0} \end{eqnarray*}$ zusammen mit $\begin{eqnarray*} k_1=f(y_0+h\theta k_1)=f(y_0)+\mathcal O(h) \end{eqnarray*}$ .

11.08.2010, 09:36

earthie

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cool, also doch noch das erwartete Ergebnis:
Konvergenzordnung 2 für Theta=0.5 und 1 sonst.

ok, ich wär zwar nie darauf gekommen die Taylorentwicklung gleich mehrmals nach verschiedenen Variablen durchzuführen. Aber diesen Lösungsweg habe ich verstanden.

die restlichen Teilaufgaben sollten lösbar sein.

Danke für die Hilfe.

11.08.2010, 10:34

earthie

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Da die Prüfung schon geuploaded ist (und leider keine Musterlösung zur Verfügung steht), hätte ich gleich noch eine Frage zur Teilaufgabe 3a)

Ich würde wohl zeigen wollen, dass $\begin{eqnarray*} f(y)=0 \end{eqnarray*}$ (als hinreichendes Kriterium) oder $\begin{eqnarray*} ||y(t_{0}+h)||=||y(t_{0})|| \end{eqnarray*}$
damit folgt IMO, dass die Lösung für alle Zeiten existiert, (da das AWP autonom) und ||y(t)||=1.
aber ich weiss nicht, wie ich f(y) vereinfachen soll bzw. y berechnen oder die Orthogonalität nutzen soll.

Oder gibt es andere Wege dies zu beweisen?

Gruss
earthie

13.08.2010, 11:08

earthie

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habe die Lösung selbst gefunden.

Gruss

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