symmetrisch und positiv definit

10.08.2010, 11:25

Sven1234

symmetrisch und positiv definit

Meine Frage:
Moin, meine Frage ist, warum folgende matrix symmetrisch und positiv semidefinit sein muss?!

Meine Ideen:
Hier die matrix, wobei R eine reguläre 3x3 matrix ist
R $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ R^T

10.08.2010, 18:47

Lileteeps

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mh.. wieso MUSS?

wenn R EINE reguläre matrix ist,wähle ich zb die Einheitsmatrix E...
die is $\begin{eqnarray*} E=E^{T} \end{eqnarray*}$ ..

somit is $\begin{eqnarray*} EME^{T}= M \end{eqnarray*}$

und M ist symmetrisch und positiv semidefinit. (?)

10.08.2010, 18:54

Lileteeps

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ODER..

Wenn das wirklich so allgemein formuliert war ind er Aufgabe,dann kann man ja auch sagen,dass R orthogonal ist.

Und da jede Matrix eine lineare Abbildung darstellt könnte man sagen,das deine Matrix M abgebildet wird, und durch R^T = R^-1 wieder zurücktransformiert wird.
Somit wieder die ursprüngliche Matrix ist und darum pos semidefinti und symmetrisch ist ...

bitte um verbesserungen,falls falsch=)

10.08.2010, 20:56

jester.

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Zitat:

Original von Lileteeps
wenn R EINE reguläre matrix ist,wähle ich zb die Einheitsmatrix E...
die is $\begin{eqnarray*} E=E^{T} \end{eqnarray*}$ ..

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist eine beliebige invertierbare Matrix, die Einheitsmatrix ist davon nur ein Spezialfall.

Zitat:

Wenn das wirklich so allgemein formuliert war ind er Aufgabe,dann kann man ja auch sagen,dass R orthogonal ist.

Warum sollte das gehen? Die orthogonalen Matrizen bilden doch nur eine Teilmenge (bzw. Untergruppe) der regulären Matrizen.

Warum der gesamte Ausdruck $\begin{eqnarray*} RAR^{tr} \end{eqnarray*}$ für symmetrisches $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ symmetrisch bleibt ist trivial, man kann dies unter Verwendung der Regel $\begin{eqnarray*} (AB)^{tr}=B^{tr}A^{tr} \end{eqnarray*}$ nachrechen.

Dass die Definitheit erhalten bleibt ist nicht trivial, sondern eine Konsquenz aus dem Trägheitssatz von Sylvester.

11.08.2010, 11:48

Lileteeps

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stimmt

ich dachte eben,weil ,wie schon gesagt,das so allgemine formuliert war könnte man einfach eine beliebige nehmen( das beliebig hatte ich gestern abend iwie als "finde ein beispiel" verstanden =))

lg teeps

11.08.2010, 20:03

Sven1234

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moin Jester,
erstmal danke für die antwort, die aufgabe war so gemeint wie du es gesagt hast, also R ist eine beliebige reguläre matrix.
Kannst du mir vielleicht noch genauer erklären warum die Symmetrie erhalten bleibt und warum die definitheit auch erhalten bleibt? was sagt den der trägheitssatz von Sylvester aus?

11.08.2010, 20:20

jester.

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Ich denke schon, dass du nachrechnen kannst, dass der Ausdruck symmetrisch ist. Eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist genau dann symmetrisch, wenn $\begin{eqnarray*} A^{tr}=A \end{eqnarray*}$ . Sieh dir also mal $\begin{eqnarray*} (RAR^{tr})^{tr} \end{eqnarray*}$ etwas genauer an.

Nun zur Definitheit. Wir haben hier einen Ausdruck $\begin{eqnarray*} RAR^{tr} \end{eqnarray*}$ und wissen (ohne den Trägheitssatz erst mal nur, dass nur Transformationen der Form $\begin{eqnarray*} RAR^{-1} \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte erhalten. Die Transformation mit der transponierten Matrix tut dies in aller Regel nicht.

Da kommt dann Sylvester ins Spiel. Aus diesem Satz ziehen wir folgendes: Ist $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ (so eine sym. Bilinearform ist natürlich durch eine symmetrische Matrix gegeben), dann hat man $\begin{eqnarray*} V=V_+\oplus V_-\oplus V^\bot \end{eqnarray*}$ mit den Bezeichnungen
$\begin{eqnarray*} V_+=\{v\in V ~|~ \Phi(v,v)>0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V_-=\{v\in V ~|~ \Phi(v,v)<0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V^\bot=\{v\in V ~|~ \Phi(v,w)=0~\forall w \in V\} \end{eqnarray*}$ (Ausartungsraum oder Radikal).
Nun bleiben die Dimensionen dieser drei Räume unter Basistransformation (in der Sprache der Matrizen also gerade $\begin{eqnarray*} RAR^{tr} \end{eqnarray*}$ ) invariant.
Oder anders gesagt: Wenn man zwei Orthogonalbasen (bzgl. $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ) nimmt und sich die Gram-Matrix (Darstellungsmatrix) von $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ bezüglich dieser Basen ansieht, so ist die Anzahl der positiven, negativen und Null-Einträge gleich.

Daraus ziehen wir als Konsequenz natürlich sofort, dass die Definitheit hier erhalten bleibt.

11.08.2010, 20:24

Iorek

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Zitat:

Original von jester.
$\begin{eqnarray*} V_+=\{v\in V ~|~ \Phi(v,w)=0~\forall w \in V\} \end{eqnarray*}$ (Ausartungsraum oder Radikal).

Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} V_0 \end{eqnarray*}$ smile

11.08.2010, 20:25

jester.

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In der Schreibweise, die wir benutzt haben, hieß das Ding immer $\begin{eqnarray*} V^\bot \end{eqnarray*}$ . Aber ich meinte in der Tat nicht $\begin{eqnarray*} V_+ \end{eqnarray*}$ . Copy und paste...

11.08.2010, 21:35

liliteeps

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mh...

aber beschränkt sich deine darstellung der basistrafo nicht nur auf orthogonale R ? weil $\begin{eqnarray*} R^{T}=R^{-1} \end{eqnarray*}$
ich kenn die basistrafo nämlich nur in der form mit $\begin{eqnarray*} R^{-1} \end{eqnarray*}$ ..
außerdem dachte ich,dass sich der trägheitssatz nur auf hermitesche matrizen bezieht...?

vllt das nochmal erläutern?

11.08.2010, 21:45

liliteeps

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stimmt das?
bei wiki wird erstere variante als matrizenbeispiel für sylvester angegeben.die zweite kommt aus dem beitrag von jester.
und die letzte ist mein verständnis einer basistrafo....

$\begin{eqnarray*} R^{T}AR = R AR^{T} = RAR^{-1} \end{eqnarray*}$

11.08.2010, 21:55

jester.

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Nein, das hier hat nichts mit orthogonalen Matrizen zu tun. Es geht um Bilinearformen, ihre Gram-Matrizen und Basistransformationen für diese Gram-Matrizen. Und diese sind (offensichtlich!) stets mit der transponierten Matrix auszuführen.

Der Trägheitssatz bezieht sich außerdem nur auf nicht-hermitesche Matrizen: über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ lassen sich die -1 auf der Diagonalen stets zu 1 transformieren.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} R^{T}AR = R AR^{T} = RAR^{-1} \end{eqnarray*}$

Dass diese Gleichheit i.A. nicht gilt, sollte dir klar sein. Ob man jedoch den ersten oder zweiten Ausdruck als Definition ansieht, ist egal. Warum sollte klar sein.

Den dritten Ausdruck kannst du in diesem Zusammenhang jedoch vergessen. Diese Art von Basistranformation mit $\begin{eqnarray*} R^{-1} \end{eqnarray*}$ (auch Konjugation) genannt, ist ein Basiswechsel eines Endomorphismus, nicht jedoch einer Bilinearform.

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