Klausurfrage zu Eigenräumen symmetrischer matrizen

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tuhh student Auf diesen Beitrag antworten »
Klausurfrage zu Eigenräumen symmetrischer matrizen
hallo,

ich habe hier eine klausurfrage:



1. Es gibt keine reelle symmetrische 4x4 Matrix deren sämtliche Eigenräume durch v1..v4 aufgespannt werden.

Wahr oder falsch!?

2. Es gibt mindestens 2 verschiedene reelle 4x4 Matrix deren Eigenräume durch v1..v4 aufgespannt werden.

wahr oder falsch!?


kann mich da mal jemand aufklären wie das mit den Eigenvektoren ist, ich dachte bei symmetrischen matrizen müssten die eigenvektoren nur orthogonal zueinander sein!?
tuhh student Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir niemand weiterhelfen?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht die Eigenvektoren, sondern die Eigenräume stehen senkrecht aufeinander.
Und offensichtlich gilt hier ja .

Also hofft man, dass man eine geeignete Matrix konstruieren kann. Ich habe ein (sehr einfaches) Beispiel gefunden, indem ich als Eigenraum zum Eigenwert 1 gewählt habe und den anderen Raum als Eigenraum zum Eigenwert 0 (dabei auf die Symmetrie achten!).

Versuch's doch einfach mal.

Aufgabe 2 wird dann sehr leicht.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ist Aufgabe 1 ja schon völlig trivial, man muss nur nachweisen, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Es gibt nämlich eine gewisse (überaus bekannte) Matrix, für welche jeder Vektor ein Eigenvektor ist.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
Eigentlich ist Aufgabe 1 ja schon völlig trivial, man muss nur nachweisen, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Es gibt nämlich eine gewisse (überaus bekannte) Matrix, für welche jeder Vektor ein Eigenvektor ist.


Das ist natürlich noch einfacher... Seltsam, dass mir nicht diese Matrix einfällt und ich stattdessen so eine "Konstruktion" mache. Big Laugh
tuhh student Auf diesen Beitrag antworten »

linear unabhängig sind sie ja, sogar orthogonal, wieso gibt es dann keine reelle symmetrische matrix deren eigenräume durch v1 v2 v3 aufgespannt werden?

hatte einen fehler in der aufgabenstellung, bei der ersten frage sind es nur die ersten 3 vektoren
 
 
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

mh...

mh geht das nich schon garnicht,weils drei vektoren für eine 4x4 matrix sind?

summe der eigenvektoren muss doch n = dim matrix sein....

verbesserung bitte=)

lg
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

mh geht das nich schon garnicht,weils drei vektoren für eine 4x4 matrix sind?



Das ist der richtige Ansatz. Das gilt aber nur für diagonalisierbare Matrizen (dass die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich der Dimension des Vektorraumes ist)

smile
lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

mh..
nicht diagonalisierbare matrizen kann mana ber mit jordan pseudo-diagonalisieren.
dazu braucht ersetzt man die fehlenden eigenvektoren durch hauptvektoren-ketten..je nachdem wieviel man braucht.
aber symmetrische matrizen sind doch immer diagonalisierbar,weil sie zur gruppe der normalen matrizen gehören .diese wiederum besitzen n linear unabhängige eigenvektoren,was (bei meinem wissensstand) diagonalisierbar bedeutet.
aber ich glaub es reicht schon zu sagen ,dass symmetrische matrizen n linear unabhängige eigenvektoren besitzen und somit die aussage wahr ist.

(?) =)
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber symmetrische matrizen sind doch immer diagonalisierbar,


Ja.
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

*freu*
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2:

ich hätte nun in die richtung der diagonalisierung gedacht?



aber ich glaube,das X die Eigenvektoren der Matrix a "enthält" ist nicht gleichzusetzen mit der Aussage,dass das auch ihre eigenvektoren sind.... oder?
Lileteeps Auf diesen Beitrag antworten »

edit:

aber ich glaube,das X die Eigenvektoren der Matrix A "enthält" ist nicht gleichzusetzen mit der Aussage,dass das auch die eigenvektoren der Matrix X sind.... oder?
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