2 beweise zu matrizen, diagonalisierbarkeit und nilpotenz.

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
2 beweise zu matrizen, diagonalisierbarkeit und nilpotenz.
Hi
ich habe hier 2 aufgaben und bei der einen weiß ich gar keinen ansatz, bei der anderen bin ich mir nicht sicher.
Also erstmal die ohne Ansatz:

a) Sei eine -Matrix mit für ein . z.z. ist diagonalisierbar. Was kann man über die Eigenwerte von aussagen?

b) Sei eine -Matrix mit 1 als einzigem Eigenwert. z.z ist nilpotent.

Achja, beide Male sind die Matrizen über .

Bei der b) dachte ich mir folgendes:
Wenn 1 der einzige Eigenwert ist, dann folgt, dass das charakteristische Polynom ist. Dann ist das Minimalpolynom für ein . Dann besagt Caylay-Hamilton, dass ist, also und damit wäre doch gezeigt, dass nilpotent ist, oder?

Ja und zur a) fällt mir leider nix ein -.-

LG
Hamsterchen
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zur (a): Beachte, dass . Was kannst du nun über das Minimalpolynom von aussagen? Was ist so wichtig daran, dass wir hier über arbeiten?

Zu (b): Dass das charakteristische Polynom so aussieht, wie du gesagt hast, hat wiederum mit dem Körper zu tun. Ist dir klar, warum?
Achtung: Cayley-Hamilton sagt, dass die Matrix Nullstelle ihres charakteristischen Polynoms ist. Nullstelle des Minimalpolynoms ist sie schon nach Definition des Minimalpolynoms.
Das ändert aber nichts an der Argumentation, aus der in der Tat folgt, dass nilpotent ist.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm also bei der a) weiß ich leider immer noch nicht weiter sry

ich denke, dass es wichtig ist, dass wir in sind, weil algebraisch abgeschlossen ist und damit das charakteristische Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt? oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
ich denke, dass es wichtig ist, dass wir in sind, weil algebraisch abgeschlossen ist und damit das charakteristische Polynom komplett in Linearfaktoren zerfällt? oder?


Im Prinzip geht es um die algebraische Abgeschlossenheit. Aus der kannst du nämlich folgern, dass eine Matrix, die nur die 1 als Eigenwert hat, auch wirklich das charakteristische Polynom hat - über nicht algebraisch abgeschlossenen Körpern gibt es dazu Gegenbeispiele.

Ok, zur (a): Nächster Schritt wäre, dass das Minimalpolynom ein Teiler von ist. Was kannst du nun über dieses Polynom aussagen? Und welchen Zusammenhang kennst du zwischen Diagonalisierbarkeit und Eigenschaften des Minimalpolynoms?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

also ein zusammenhang zwischen minimalpolynom und diagonalisierbarkeit ist, dass das minimalpolynom in paarweise verschiedene linearfaktoren zerfallen muss, damit A diagonalisierbar ist. glaube ich ^^

aber ich stehe immernoch aufm schlauch xD
wieso muss das minimalpolynom ein teiler von sein?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch schon die Nullmatrix. Da das Minimalpolynom nach Definition das normierte Polynom kleinsten Grades ist, das annuliert, muss ja dieses Polynom , welches ebenfalls annuliert, bereits ein Vielfaches des Minimalpolynom sein.

Die Eigenschaft zur Diagonalisierbarkeit ist genau die, die ich meine. Jetzt musst du mal überlegen, was du über die Nullstellen von (über !) sagen kannst.
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm ok dass mit dem minimalpolynom ist verständlich, geht zwar irgendwie nicht so leicht in meinen kopf rein, weil ich nicht ganz verstehe, wieso es ein vielfaches sein muss, also kann es nicht ein anderes polynom geben, dass kein vielfaches ist, sondern irgendwas anderes, und wo trotzdem null raus kommt?

naja und kann Nullstellen bei 1 und -1=i^2 haben oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nennen wir dieses Polynom mal und teilen es mit Rest durch das Minimalpolynom .
Dann haben wir mit oder .
Wir möchten nun natürlich zeigen, dass . Falls das nicht so ist, gilt jedoch:
, was im Widerspruch dazu steht, dass das Minimalpolynom ist.

Nun zu den Nullstellen von . Die Aussagen darüber sind unverzichtbar, um die Diagonalisierbarkeit nachzuweisen.
Du hast Recht, wenn du sagst, dass 1 eine Nullstelle ist.
Jedoch ist -1 für ungerades keine. Vergleiche schon den einfachsten Fall .

Da du offensichtlich nicht weißt, auf was hier abgezielt wird, solltest du diesen Artikel mal lesen.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ja die einheitswurzeln, an die hab ich gar nicht mehr gedacht ^^

naja ok dann hat die m-ten Einheitswurzeln als Nullstellen.
Hmm und weil die alle verschieden sind, und das Minimalpolynom ein Teiler davon ist, hat es auch paarweise verschiedene Nullstellen also zerfällt es auch in paarweise verschiedene Linearfaktoren und deswegen ist A dann diagonalisierbar?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. smile
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

juhuuu ^^
vielen dank für deine Hilfe. Aber auf sowas komme ich auch einfach nie -.- dabei ist es eigentlich so leicht, wenn man weiß, wie ^^
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Und was man über die Eigenwerte von aussagen kann, sollte damit dann auch klar sein, oder?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

naja das müssten ja dann alles einheitswurzeln sein. aber man kann doch nicht sagen, dass alle m-ten einheitswurzeln eigenwerte sind oder?

edit: geht ja eigentlich gar nicht, weil das charakteristische polynom und das minimalpolynom die gleichen nullstellen (=eigenwerte) haben. und man weiß ja blos, dass das minimalpolynom paarweise verschiedene nullstellen hat, die alle m-te einheitswurzeln sind, aber man hat ja keine ahnung, wieviele tatsächlich im minimalpolynom vorkommen.
oder irre ich mich jetzt schon wieder? ^^
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kann man nicht - man soll ja aber auch keine Aussage über die Einheitswurzeln treffen. Jedoch sind - wie du richtig erkannt hast - alle Eigenwerte m-te Einheitswurzeln. Augenzwinkern
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

nochmal ein edit, aber als neue antwort passts besser ^^

also ich hab den satz blöd formuliert. ich wollte natürlich nicht damit aussagen, dass alle einheitswurzeln eigenwerte sind, sondern ich wollte sagen, dass man nicht sagen kann, dass im minimalpolynom jede einheitswurzel als nullstelle auftaucht ^^
also ich wollte keine aussage über die einheitswurzeln machen ^^ sry für die blöde formulierung
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