Lineare Gleichungssysteme lösen |
| 12.08.2010, 15:46 | Hasan1994 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lineare Gleichungssysteme lösen Hallo, ich bin jetzt in der 9.Klasse und unsere Mathethema ist Gleichungssysteme mit 2 und drei unbekannten. Auf dieser Seite gibt es diese: 10a + 12b = 38 Ergebnis:b = -7,5a + 9,7 Wie löst man das? Bitte um Hilfe und verständliche Erklärung Danke Meine Ideen: Wie? |
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| 12.08.2010, 15:47 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
10a + 12b = 38 Das ist kein Gleichungssystem sondern nur eine Gleichung mit 2 Unbekannten. Und diese Gleichung wurde einfach nach b umgestellt/aufgelöst. |
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| 12.08.2010, 15:54 | Hasan1994 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie löst man das? Man darf doch nur die mit 2 gleichen nenner wie z.B. a und a lösen. Wie? Danke |
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| 12.08.2010, 15:55 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst das nicht weiter auflösen, eine Gleichung mit 2 Variablen lässt sich nur zur einer Variable hin auflösen. Und wo siehst du hier einen Nenner? 
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| 12.08.2010, 16:01 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte erkläre mir wie man das macht. Auf der Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/gleichungssysteme1.htm 10a + 12b = 38 (Christinas Einkauf) 15a + 2b = 19,4 (Daniels Einkauf) Ich habe den Passwort vergessen und benutze diesen acc |
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| 12.08.2010, 16:07 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist doch jetzt aber eine komplett andere Aufgabe, als du am Anfang angegeben hast 
Die Homepage kann ich nicht öffnen, aber das ist eine Aufgabe, die man z.B. sehr schön mit dem Einsetzungsverfahren lösen kann, der Anfang dafür ist mit dem b=... auch schon gemacht. |
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| 12.08.2010, 16:08 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und kannst du mir BITTE die Einsetzungsverfahren erklären? Bitte! |
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| 12.08.2010, 16:12 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier ist der Aufgabe: Lineare Gleichungssysteme lösen Eine Gleichung, die nur eine Unbekannte hat, kann man (in allen euch bekannten Fällen) nach dieser Unbekannten auflösen und somit die Lösungsmenge bestimmen. Unter der Lösungsmenge sind alle Zahlen zu verstehen, die man für die Unbekannte einsetzen kann, so daß die Gleichung wahr ist, also "stimmt". Manche Fragestellungen beinhalten jedoch zwei oder mehr Unbekannte, wobei man aber auch zwei oder mehr voneinander unabhängige Gleichungen aufstellen kann. Zum Beispiel eine kleine Textaufgabe: Christina kauft vom Artikel A zehn Stück und zwölfmal Artikel B. Daniel dagegen kauft fünfzehn Stück von A, aber nur zwei von B. Christina bezahlt 38 Euro, Daniel 19,40 Euro. Unbekannt sind die Einzelpreise von A und B. Da für beide Einkäufer die einzelnen Stückzahlen und der Gesamtpreis bekannt sind, kann man zwei Gleichungen aufstellen, die beschreiben, wie sich der jeweilige Gesamtpreis zusammensetzt. Der Einzelpreis von A wird hierbei durch die Variable a beschrieben und der Einzelpreis von B durch die Variable b: 10a + 12b = 38 (Christinas Einkauf) 15a + 2b = 19,4 (Daniels Einkauf) Leider kann man hier keine der einzelnen Gleichungen für sich genommen so nach einer Variablen auflösen, daß man den Einzelpreis ablesen kann, denn man bekommt die andere Variable nicht weg. Man weiß aber, daß die zu findenden Lösungen für a und b für beide Gleichungen gleichzeitig gelten müssen. Man hat hier dadurch ein System zweier Gleichungen mit zwei Unbekannten. Es ist üblich, die Gleichungen mit römischen Ziffern zu numerieren und das Gleichungssystem zwischen parallele senkrechte Striche zu setzen: I: 10a + 12b = 38 II: 15a + 2b = 19,4 Alle Verfahren, das Problem zu knacken, beruhen darauf, aus den n Gleichungen mit n Unbekannten (wobei mit n die Anzahl der Gleichungen und Variablen gemeint ist) nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten zu machen. Es gibt dabei im wesentlichen neben dem Erraten und dem graphischen Lösungsverfahren vier algebraische Verfahren: ® Gleichsetzungsverfahren ® Einsetzungsverfahren ® Additionsverfahren ® Eliminationsverfahren (auch ®hier, mit interaktiven Beispielen mit Rechenweg) Hat man mehr als zwei Gleichungen, dann führt in jedem Verfahren immer jeder einzelne Schritt zu einer Gleichung, die jeweils eine Variable weniger enthält. |
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| 12.08.2010, 16:14 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Gleichsetzungsverfahren Löst man die Gleichung II aus dem obigen Beispiel nach b auf, so erhält man b = -7,5a + 9,7. Diese umgeformte Gleichung nennen wir sinnvollerweise II'. Da auf der rechten Seite noch das a vorkommt, hängt b also von a ab. Immerhin kann man hier für jeden Wert von a sofort ein zugehöriges b berechnen. Wäre a beispielsweise 0,50 Euro, so könnte man b berechnen mit -7,5·0,5 + 9,7 = 5,95. Möglicherweise ist a=0,5 ja bereits die Lösung. Wenn ja, dann müßte sie mit b=5,95 auch die erste Gleichung (10a + 12b = 38) erfüllen. Leider ist aber 10·0,5+12·5,95 = 76,4 und nicht 38. Ihr merkt (hoffentlich) sofort, daß b = -7,5a + 9,7 eine lineare Funktion beschreibt mit der Steigung -7,5 und dem y-Achsenabschitt 9,7. Zu dieser Funktion kann man einen Graph zeichnen, der eine Gerade ist. Dasselbe kann man auch mit der ersten Gleichung durchführen: Auflösen nach b und Zeichnen des zugehörigen Graphen b = -5/6a + 19/6 (II'). Der Schnittpunkt beider Graphen ist der Punkt des gesuchten Lösungspaares (a|b), denn er liegt auf beiden Graphen, und seine Koordinaten (a|b) "passen" somit in beide Gleichungen. Wenn man einigermaßen genau zeichnet, kann man die Koordinaten und damit die Preise möglicherweise bis auf 5-10 Cent genau ablesen. Natürlich hört aber spätestens beim Geld die Großzügigkeit auf: Wir müssen es genau wissen! Nun erinnert euch, wie man den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen berechnet: Man setzt die Funktionsterme gleich. In unserem Beispiel sind die Funktionsterme -7,5a + 9,7 und -5/6a + 19/6. Man setzt sie also gleich und erhält dadurch eine Gleichung, die nur noch eine Unbekannte enthält. Man kann mit ihr also die Lösung für a bestimmen. Das ist das Gleichssetzungsverfahren: II' = I' -7,5a + 9,7 = -5/6·a + 19/6 | · 6 -45a + 58,2 = -5a + 19 | + 45a 58,2 = 40a + 19 | - 19 39,2 = 40a | : 40 0,98 = a Mit diesem Wert kann man b leicht ausrechnen: Man muß nur in eine der beiden nach b umgeformten Gleichungen für a den Wert 0,98 einsetzen: Einsetzen in I': b = -5/6·a + 19/6 = -5/6·0,98 + 19/6 = 2,35 Einsetzen in II': b = -7,5·a + 9,7 = -7,5·0,98 + 9,7 = 2,35 Man wählt sinnvollerweise die angenehmere Gleichung, was hier sicherlich II' ist. |
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| 12.08.2010, 16:15 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hast du dir schonmal den Link zum Einsetzungsverfahren angeguckt, den ich dir gegeben habe? |
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| 12.08.2010, 16:15 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Löst man die Gleichung II aus dem obigen Beispiel nach b auf, so erhält man b = -7,5a + 9,7. Aber wie löst man das? |
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| 12.08.2010, 16:16 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahh, ich habe den Link nicht gesehen. Ich lese mal jetzt |
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| 12.08.2010, 16:17 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aha, genau das wollte ich wissen. Vielen DANK |
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| 12.08.2010, 18:04 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ich zuletzt fragen möchte: Kann man diese Einsetzungsverfahren bei allen Aufgaben anwenden? Es gibt ja auch andere wie z.B. Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren,...? Und vielmalls danke für deine Antwort |
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| 12.08.2010, 18:23 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Theorie kannst du das immer anwenden, wenn du mehr als 3 Gleichungen hast lohnt es sich aber in der Regel nicht mehr, dann würde ich eher das Additionsverfahren benutzen. |
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| 12.08.2010, 19:06 | Hasan1994 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK. Danke. Du bist sehr hilfsbereit |
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| 13.08.2010, 10:59 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Additonsverfahren (s.o.) Zitat: Dazu muss eine der beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass bei einer Addition der beiden Gleichungen eine Variable verschwindet. In diesem Beispiel multiplizieren wir dazu Gleichung (2) auf beiden Seiten mit − 3. (2) \quad 3x + y = -1 | \cdot (-3) Woher weißt man, dass man (-3) nehmen muss? Oder muss man bei allen Aufgaben (-3) nehmen? Danke 
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| 13.08.2010, 11:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Beitrag ist nicht vernünftig lesbar. |
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| 13.08.2010, 19:16 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
http://de.wikipedia.org/wiki/Additionsverfahren_%28Mathematik%29 Zitat: Dazu muss eine der beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass bei einer Addition der beiden Gleichungen eine Variable verschwindet. In diesem Beispiel multiplizieren wir dazu Gleichung (2) auf beiden Seiten mit -3. (2) 3x + y = -1 | : (-3) Woher weißt man, dass man (-3) nehmen muss? Oder muss man bei allen Aufgaben (-3) nehmen? Danke
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| 13.08.2010, 19:32 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum muss man (-3) nehmen? Weil es passt. Lies mal weiter durch, wie es weitergeht mit dem Verfahren, dann sollte dir auffallen, wieso hier gerade (-3) passt. |
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| 14.08.2010, 08:43 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig 
Ich habe nicht daran gedacht. Montag fangen die Schulen an und ich habe Angst vor dem neuen Jahr, dass es mir zu schwer wird. Deswegen bin ich in Panik geraten. Danke für alles! 
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| 14.08.2010, 10:44 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na, wenn du das jetzt schon ansatzweise verstanden hast, solltest du in der Schule wenig Probleme haben, dort wird das ja auch noch erklärt und an Beispielen eingeübt
Und falls du doch Probleme mit einer Aufgabe haben solltest, kannst du dich natürlich immer wieder hier melden. |
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| 14.08.2010, 11:44 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank!
Mach ich. Ich habe bereits es erlernt. Leider will ich mit der Eliminationsverfahren nicht anfange. Oh mein Gott. Zu viele x,y, x²,... DANKE! |
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| 14.08.2010, 11:47 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gerade für größere Gleichungssystem (d.h. in dem Fall 3 oder mehr Gleichungen) ist das Eliminationsverfahren eigentlich besser geeignet als das Einsetzungs/Gleichsetzungsverfahren, da es den Rechenweg ungemein verkürzt. Worauf beziehst du dich bei
Sollen das deine Variablen sein? Dann solltest du nämlich eigentlich kein x² da reinbekommen. |
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| 14.08.2010, 17:19 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guck mal diese Seite: http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren Das alles verwirrt mich. Lieber lerne ich das mit meinem Mathelehrer Herr Lück. |
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| 14.08.2010, 17:37 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Eliminationsverfahren ist eine Abwandlung des Additionsverfahrens, wenn du das Additionsverfahren kannst, sollte das für die Schule erstmal reichen
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| 14.08.2010, 18:49 | kassel2010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für alles
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