Vollständige Induktion - Beispielaufgabe richtig gelöst?

14.08.2010, 11:50

Xelos

Vollständige Induktion - Beispielaufgabe richtig gelöst?

Moin,
ich versuche gerade mich in das Thema "Vollständige Induktion" einzuarbeiten.
Mir ist aber immer noch unklar, wann der Beweis erbracht ist.

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} $\sum\limits _{n=2}^{\infty}n^{2}>n+1$ \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang (n=2 )
$\begin{eqnarray*} $2^{2}>2+1$ \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung
$\begin{eqnarray*} $\sum\limits _{n=2}^{\infty}n^{2}>n+1$ \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt (n->n+1)
$\begin{eqnarray*} $(n+1)^{2}>n+1+1$ \end{eqnarray*}$

Wäre bei dieser Aufgabe der Beweis erbracht oder sind noch weitere Schritte nötig? Bzw. ist die Aufgabe überhaupt richtig?

Grüße
Xelos

14.08.2010, 11:55

Iorek

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RE: Vollständige Induktion - Beispielaufgabe richtig gelöst?

Zitat:

Original von Xelos
$\begin{eqnarray*} $\sum\limits _{n=2}^{\infty}n^{2}>n+1$ \end{eqnarray*}$

Willst du wirklich die Summe von n=2 bis unendlich über die Quadratzahlen bilden? Überprüf da doch bitte die Aufgabe nochmal genau.

Und nein, mit dem bloßen Hinschreiben des Induktionsschrittes ist der Beweis noch nicht erbracht. Du solltest z.B. anfangen mit $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ und das umformen bis du nach unten Abschätzen kannst und $\begin{eqnarray*} >n+1+1 \end{eqnarray*}$ erhältst.

14.08.2010, 12:18

tmo

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RE: Vollständige Induktion - Beispielaufgabe richtig gelöst?
Um es kurz zu sagen, das hier ist Quatsch:

Zitat:

Original von Xelos
Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} $\sum\limits _{n=2}^{\infty}n^{2}>n+1$ \end{eqnarray*}$

Bitte die richtige Aufgabenstellung.

14.08.2010, 13:07

Xelos

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Ok, ihr habt recht...

Die Aufgabe lautet

n²>n+1 für alle n >=2

Somit müsste es eigentlich so lauten

$\begin{eqnarray*} $\sum\limits _{n \geq 2}^{\infty}n^{2}>n+1$ \end{eqnarray*}$

Oder?

Grüße
Xelos

14.08.2010, 13:10

Iorek

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Was soll die Summe bei dir? Das ergibt absolut keinen Sinn!

Wie lautet der genaue Aufgabentext, kommt da auch die Summe drin vor oder hast du die selber dazugedichtet? Schreib den Aufgabentext doch bitte einfach wörtlich ab, ansonsten hat das hier keinen Sinn.

14.08.2010, 13:22

Xelos

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Der Aufgabentext lautet:

Es gilt n²>n+1 für alle n >=2.

14.08.2010, 13:25

Iorek

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Ok, wie kommt bei dir jetzt eine Summe ins Spiel, wo wird in der Behauptung über irgendetwas summiert?

Behauptung: $\begin{eqnarray*} n^2>n+1~\forall~ n\geq 2 \end{eqnarray*}$

Beweis per vollständiger Induktion über n:

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} 2^2=4>3=2+1 \end{eqnarray*}$

Wieso willst du eine unendliche Summe hier einbauen?

14.08.2010, 13:37

Xelos

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Und wo lässt du den Induktionsschritt?

Nun ist doch nur bewiesen, dass es für n=2 gilt. Ich denke bei der vollst. Induktion muss auch bewiesen werden, dass es auch für n+1 gilt?

Grüße
Xelos

14.08.2010, 13:38

Iorek

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Der Induktionsschritt ist deine Aufgabe, den hab ich dir natürlich noch nicht hingeschrieben. Es ging bisher ja erst einmal darum, die richtige Behauptung zu klären.

Wie geht es nach dem IA jetzt weiter?

14.08.2010, 13:48

Xelos

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Induktionsschritt (n->n+1)

$\begin{eqnarray*} $(n+1)^{2}>n+1+1$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $(n+1)(n+1)>n+2$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} $n^{2}+n+1>2$ \end{eqnarray*}$

So?

14.08.2010, 13:49

Iorek

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Du hast die Induktionsvoraussetzung vergessen, die sollte noch davor kommen.

Wenn du jetzt noch eine Erläuterung zu der letzten Ungleichung schreiben würdest, wäre das so in Ordnung.

14.08.2010, 13:56

Xelos

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Die Induktionsvorraussetzung ist immer die Ursprungsformel? Wird in dem Fall der Allquantor mit angegeben?

14.08.2010, 14:11

Iorek

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Zitat:

Original von Xelos
Die Induktionsvorraussetzung ist immer die Ursprungsformel? Wird in dem Fall der Allquantor mit angegeben?

Nein, das ist sie nicht. In der IV nimmst du an, dass die Behauptung für ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

14.08.2010, 14:12

mYthos

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Bitte (@ beide): Induktionsvoraussetzung!

Und: Ja, die IV ist zum Beweis der IB (Ind. Behauptung) heranzuziehen, mit dem Quantor $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ , denn die Sache gilt ja erst ab n = 2 !

mY+

EDIT: Fehler korrigiert

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