Flugzeugabsturz-Wahrscheinlichkeit

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Flugzeugabsturz-Wahrscheinlichkeit
Seit etwa 10 Jahren ist die Anzahl der Abstürze von Verkehrsflugzeugen mit ca. 50 pro Jahr etwa konstant, obwohl die zivile Luftfahrt zugenommen hat.
a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem zufällig ausgewählten Tag eines Jahres 0; 1; 2; mehr als 2 Flugzeuge abstürzen. Erläutern Sie die Modellannahmen, die vorgenommen werden.
b) Bestimmen Sie einen Wert für die Anzahl der Tage eines Jahres, an denen es keinen Absturz geben wird.

Zu a): Wahrscheinlichkeit für einen Flugzeugabsturz: 50/365
Mehr wissen wir leider nicht... Könnte uns da jemand weiterhelfen? Wir müssen das dem Kurs vorstellen, haben aber leider keine Ahnung, wie man da rangehen soll...

Zu b): Mindestens 315 Tage, der Rest ergibt sich dann hoffentlich aus a)
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flugzeugabsturz-Wahrscheinlichkeit
Das ist ein Fall für die Poissonverteilung mit Erwartungswert lambda=50/365 für die Anzahl Abstürze an einem Tag.
 
 
Sender Auf diesen Beitrag antworten »

hallo
naja jetzt haben wir ein weiteres Problem, die Poissonverteilung haben wir uns gerade im Internet angesehen und festgestellt, dass wir diese nicht behandelt haben. Wir kennen noch nichtmal die eulersche Zahl...
Deshalb muss die Aufgabe auch anders zu lösen sein, da wir sie mit Hilfe unseres Wissensstandes aus dem letzten Semester lösen können sollten...

Hast du noch ne Idee??
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Da ein Doppelabsturz in derselben Stunde wenig wahrscheinlich ist, könnte man für jede Stunde des Tages das Bernoulliexperiment «Absturz ja oder nein» mit p=50/365/24 machen. Das ergibt eine nähernde Bernoullikette der Länge n=24 (mit Binomialverteilung).
(Natürlich darf man den Tag auch noch feiner unterteilen ...)

Nachtrag hinsichtlich dem Vorschlag von Huggy (weiter unten): Dort ist n=50, also noch etwas feiner unterteilt, und mit anderer hinführender Ueberlegung.
Sender Auf diesen Beitrag antworten »

Also unser Mathelehrer meinte, das ist eigentlich relativ simpel (wenn man Mathe studiert hat...) und es wäre kein Bernoulli-Experiment.
Sender Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das ein Bernoulli-Experiment? Weil wir irgendwie dachten es können ja auch mehrere Flugzeuge an einem Tag abstürzen... Das wären doch mehr als zwei Versuchsausgänge oder?
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Deine ursprüngliche Frage war «a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an einem zufällig ausgewählten Tag eines Jahres 0; 1; 2; mehr als 2 Flugzeuge abstürzen.»
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ein Bernouilli-Experiment. Jeder Flugzeugabsturz kann an einem bestimmten Tag nur stattfinden oder nicht stattfinden. Wenn man das 50 mal wiederholt, können natürlich mehrere an einem Tag stattfinden.

Statt mit der Poissonverteilung kann man das auch locker mit der Binomialverteilung rechnen. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Flugzeugabstürze an einem Tag ist

Sender Auf diesen Beitrag antworten »

@ wisili:
Tut uns Leid, aber wir wissen irgendwie nicht, was du uns damit sagen willst...

@ Huggy: Danke!
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

@Sender
Ich habe nach der Poissonverteilung (die viel leichter zu rechnen ist, als eine Binomialverteilung), auch die Binomialverteilung (bezüglich einer Bernoullikette) genannt. Niemand hat je behauptet, das Ganze sei ein Bernoulliexperiment.
Sender Auf diesen Beitrag antworten »



(das n über k haben wir nicht gefunden... )

ist das dann so richtig?
Sender Auf diesen Beitrag antworten »

@wisili
wenn wir das im Unterricht noch nicht behandelt haben, dann dürfen wir das trotz der Einfachheit leider nicht benutzen... :/
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »



Falls du das gemeint hast, war es richtig.
Sender Auf diesen Beitrag antworten »

okay, danke smile

Bringt uns das jetzt schon was für Aufgabenteil b??
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sender
@wisili
wenn wir das im Unterricht noch nicht behandelt haben, dann dürfen wir das trotz der Einfachheit leider nicht benutzen... :/


Ja, das sehe ich ein. Die drei bisher vorgestellten Rechenarten führen auch fast zum selben Ergebnis: Die folgenden 3 Blöcke nennen die W'keiten für 0 bis 3 Abstürze, zuerst binomial nach Huggy, dann binomial nach wisili, dann mit Poisson.

[attach]15787[/attach]

zu b):
«Bestimmen Sie einen Wert für die Anzahl der Tage eines Jahres, an denen es keinen Absturz geben wird.»

Mit «Wert» kann nur der Erwartungswert E (Mittelwert) gemeint sein.
Im Laplace-Modell ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Tag kein Absturz passiert, also 0.871818. Daraus ergibt sich E.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sender
Bringt uns das jetzt schon was für Aufgabenteil b??

Da erhebt sich die Frage, was dort mit "ein Wert" gemeint ist? Falls das der Erwartungswert sein soll, wird es, fürchte ich, haarig. Es sei jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass die 50 Flugzeugabstürze an genau k (k =1, ..., 50) verschiedenen Tagen stattfinden. Dann ist der Erwartungswert für die Zahl der absturzfreien Tage:



Nun ist für k = 50 und 49 einigermaßen einfach zu bestimmen. Aber danach wird es schwieriger. Bei k = 48 können 2 Tage doppelt belegt sein oder 1 Tag dreifach usw. Ich sehe da im Moment die allgemeine Formel nicht.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Sei Xi die Zufallsvariable mit dem Wert 1, wenn der betrachtete i.te Tag des Jahres absturzfrei ist, sonst 0. Ihr Erwartungswert E(Xi) ist dann 0.871818.
Für X = X1+X2+...+X365 gilt dann E(X) = 365 * 0.871818.

(Die weniger akademische Darstellung findet sich oben, nach den Zahlblöcken.)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ach herrje, manchmal denkt man viel zu kompliziert! unglücklich
Sender Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also kann ich das nun alles einsetzen?
soweit hab ich das ja verstanden. nur eine Sache hab ich nøch nicht kapiert... und zwar, warum sind das bei binomial nach Huggy und binomial nach wisili andere Werte?


und wieso beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Föugzeugabsturz 1/365 und nicht 50/365

ansonsten erstmal danke an euch beide (:
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Es sind (ganz leicht) verschiedene Werte, weil es verschiedene Modelle sind.
Modelle bilden die Realität in den für wichtig erachteten Aspekten nach, abstrahieren aber zugleich (bewusst oder verdeckt) von anderen Aspekten.

Als Beispiel: Im Modell von Huggy ist es unmöglich, dass an einem Tag 51 Abstürze stattfinden, in der Realität aber wohl (wenn auch sehr selten).

Zur letzten Frage: Huggy geht zunächst von genau 50 Abstürzen jährlich aus und betrachtet einen bestimmten Tag im Jahr. Ein bestimmter Absturz kann an diesem Tag stattfinden oder nicht (Bernoulliversuch); er findet aber sicher in diesem Jahr statt. Die W'keit, dass er dann stattfindet beträgt 1/365. Da es 50 Abstürze sind, betrachtet man die Bernoullikette der Länge 50. Die Anzahl der Abstürze ist dann binomialverteilt.
Sender Auf diesen Beitrag antworten »

Also bedeutet es, dass jedes Flugzeug mit der W.keit 1/365 an einem Tag des Jahres abstürzt? Und die 50 ist einfach nur die Anzahl der Wiederholungen des Versuchs.?

hieße, ich schicke jeden Tag 50 Flugzeuge los und schaue dann, wie viel Flugzeuge abstürzen?

puh, wenn das jetzt stimmt, dann bin ich glücklich (:

und nochmal vielen Dank euch beiden.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Idee von Huggy so verstanden:
Ich betrachte einen ganz bestimmten Tag des Jahres.
Nun «schicke» ich die 50 Flugzeuge los, die im betreffenden Jahr fällig sind, abzustürzen und schaue nach, ob es am ausgesuchten Tag passiert.
(Dass sie abstürzen, ist eh schon klar, aber sie dürfen sich den Tag des Jahres noch aussuchen: Die W'keit ist 1Tag pro 365Tage.)
Sender Auf diesen Beitrag antworten »

ist es dann aber denn nicht so, dass sich die W.keiten ändern... Wenn ein Tag vorbei ist, dann ist sie doch schon anders oder nicht? und auch wenn eins abgestürzt ist?


edit: oh du sagtest ja, du schaust dir nur einen ausgesuchten Tag an, dann weiß ich ja aber nicht, ob schon welche abgestürzt sind... hach ja in Ordnung. (:

Dankeschön.
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