Eindeutigkeitssatz für Maße

22.08.2010, 12:56	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeitssatz für Maße Hey, ich komme nicht weiter bei einer Aufgabe die mit dem Eindeutigkeitssatz von Maßen zu tun hat. Sie lautet: Zeigen Sie, dass auf Forderung der schnitt-Stabilität des Erzeugers auch dann nicht verzichtet werden kann, wenn $\begin{eqnarray} \mu_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu_2 \end{eqnarray}$ als Wahrscheinlichkeitsmaße vorausgesetzt werden. Geben Sie einen messbaren Raum $\begin{eqnarray} \left(\Omega, \mathcal A\right) \end{eqnarray}$ mit einem nicht schnitt-stabilen Erzeuger $\begin{eqnarray} \mathcal C \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ sowie zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ an, die auf $\begin{eqnarray} \mathcal C \end{eqnarray}$ aber nicht auf $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ übereinstimmen. Ich hab mir schon einige Zeit den Kopf zerbrochen über ein passendes Beispiel, dann hab ich im Internet gesucht. Beides bisher erfolglos. Kennt jemand ein Beispiel? Oder vll fällt ja auch jemandem eines ein. Ich freue mich über Hilfe jeder Art.
22.08.2010, 13:43	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eindeutigkeitssatz für Maße versuch mal was mit dem Erzeuger {{1,2},{2,3}} anzufangen.
22.08.2010, 14:25	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eindeutigkeitssatz für Maße Ja an den hatte ich auch schon gedacht. Mit $\begin{eqnarray} \Omega = \left\{ 1,2,3\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal A = \sigma(\mathcal C) = \mathcal P( \Omega) \end{eqnarray}$ Aber ich finde keine 2 verschiedenen W-Maße die auf dem Erzeuger übereinstimmen aber nicht auf der ganzen sigma-Algebra. Vll stell ich mich n bisschen blöd an aber da steh ich irgendwie aufm Schlauch.
22.08.2010, 18:03	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eindeutigkeitssatz für Maße Nimm für für das erste Wahrscheinlichkeitsmaß einfach die Gleichverteilung und die andere ergibt sich als logische Konsequenz der angegebenen Bedingungen.
22.08.2010, 19:00	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eindeutigkeitssatz für Maße Naja, ich habe keine Probleme damit ein W-Maß auf einer Menge zu finden... Die Gleichverteilung bietet sich da ja irgendwie an, aber ich weiß beim besten Willen nicht wie ich dann ein zweites finden soll, dass auf dem Erzeuger übereinstimmt aber ansonsten i.A. nicht. So langsam fange ich an diese Aufgabe zu verfluchen! Das mit der Gleichverteilung habe ich nicht hingeschrieben weil ich dachte es wäre vll falsch. Ich meine vll ist es nicht bei jedem Maß möglich ein passendes anderes Maß zu finden... Also mit Gleichverteilung meinst du doch, dass jedes Ereigniss die gleiche Wahrscheinlichkeit bekommt, demnach kommt für das W-Maß nur folgendes in Frage: $\begin{eqnarray} \mu_1\left(A\right) = \frac{\| A \| }{3} \end{eqnarray}$ Dann muss gelten $\begin{eqnarray} \mu_2\left(\left\{ 1,2\right\} \right) = \mu_2\left(\left\{ 2,3\right\} \right) = \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ Aus den Bedingungen für ein W-Maß folgt dann aber, dass $\begin{eqnarray} \mu_2\left(\left\{ 3\right\} \right) = \mu_2\left(\left\{ 1\right\} \right) = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ daraus folgt nun $\begin{eqnarray} \mu_2\left(\left\{ 1,3\right\} \right) = \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ und daraus wiederum $\begin{eqnarray} \mu_2\left(\left\{ 2\right\} \right) = \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ . Dann stimmen die beiden Maße aber auf der kompletten Potenzmenge überein (denn auf der leeren und der vollen Menge tun sie es trivialerweise auch). Wenn mich nicht alles täuscht ist es in diesem Beispiel nicht möglich ein zweites W-Maß zu finden und langsam habe ich den Eindruck, dass es auch allgemein nicht möglich ist. Das würde natürlich bedeuten, dass die Aufgabenstellung falsch ist, aber sowas soll vorkommen. Kann mir jemand mit Sicherheit sagen, dass es so ein Gegenbeispiel wie in der Aufgabe verlangt gibt??
22.08.2010, 21:21	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eindeutigkeitssatz für Maße Oh je, da hab ich dich aber auf den Holzweg geführt ... sorry hust pfeif Nimm als Erzeuger {{1,2},{2,3},{3,4}} die sigma-algebra ist dann die Potenzmenge von {1,2,3,4} $\begin{eqnarray} P_1(\{1\})=0,5=P_1(\{3\}) \end{eqnarray}$ P.S. und ja, unter der gleichverteilung verstehe ich in diesem Fall $\begin{eqnarray} P(A) = \frac{\|A\|}{4} \end{eqnarray}$
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23.08.2010, 20:05	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eindeutigkeitssatz für Maße G Dir sei verziehen! Danke für deine Hilfe! So funktioniert es jetzt. Also zum einen die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} \left\{1,2,3,4\right\} \end{eqnarray}$ und zum anderen die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} \left\{1,3\right\} \end{eqnarray}$

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