Beispiele für Äquivalenzrelationen |
| 22.08.2010, 17:12 | anneke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beispiele für Äquivalenzrelationen Ich suche Beispiele für Äquivalenzrelationen aus den Bereichen Geometrie, Mengenlehre und natürliche Zahlen (je verschieden von der Gleichheit). Kann mir jemand weiter helfen? Meine Ideen: Zu dem Bereich Geometrie fällt mir die Parallelität von Geraden ein. Dabei sind alle 3 Vorraussetzungen für Äquivalenzrelationen erfüllt: Reflexivität: da für jede Gerade g g=g gilt Symmetrie: wenn g parallel zu h, dann auch h parallel zu g Transitivität: wenn g und h parallel und h und l parallel, dann auch g und l Was sagt ihr dazu und habt ihr Ideen für die Bereiche Mengenlehre und nat. Zahlen |
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| 22.08.2010, 17:23 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dein Beispiel für die Geometrie ist okay. Für die Mengelehre kannst du z.B. die Gleichmächtigkeit von Mengen nehmen. Und für die natürlichen Zahlen schau dir mal an wie man rationale Zahlen als Äquivalenzklassen der ganzen Zahlen einführt. Wenn du die natürlichen Zahlen nimmst hast du eben nur positive rationale Zahlen als Ergebnis. air |
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| 22.08.2010, 18:36 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Des weiteren in Geometrie: Kongruenz zweier Figuren Ähnlichkeit zweier Figuren Gegenbeispiele: Senkrechtstehen von zwei Geraden Spiegelbildlichkeit zweier Figuren Bei natürlichen Zahlen: Gerade Differenz zweier Zahlen (ist Spezialfall von: ) Teilbarkeit der Differenz zweier Zahlen durch eine feste Zahl m Gleichheit der Dezimalziffernzahl zweier Zahlen Gegenbeispiele: Gerades Produkt zweier Zahlen Teilerfremdheit zweier Zahlen Bei Mengen bezüglich einer Grundmenge G: Komplementarität zweier Mengen Gegenbeispiel Elementfremdheit zweier Mengen |
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| 22.08.2010, 22:18 | anneke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für eure Hilfe! Ist bzgl. der nat. Zahlen auch die Relation "lässt bei Division durch n den gleichen Rest" möglich? Reflexivität, Symmetrie und Transitivität wären ja gegeben... Oder ist das womöglich nicht verschieden zur Gleichheit? Was meint ihr? |
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| 22.08.2010, 22:28 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist möglich - und sogar der erste Schritt in ein großes und wichtiges Gebiet der Mathematik. 
Hier wird allerdings auch mit den ganzen Zahlen und nicht den natürlichen Zahlen gearbeitet.air |
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| 23.08.2010, 08:58 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
... ist dasselbe wie Teilbarkeit der Differenz zweier Zahlen durch eine feste Zahl m |
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| 23.08.2010, 09:25 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wobei man vielleicht noch dazusagen sollte, dass dein m mit Anneke's n übereinstimmt, was nicht von vornherein klar ist... 100% dasselbe ist es übrigens auch nicht, wenn wir hier schon bei Haarspaltereien sind, denn z.B. ist die Definition auch für n=0 immer noch sinnvoll - und führt dann auf die Gleichheitsrelation - während hier die Defintion über die Division durch n natürlich dann nicht mehr funktioniert... |
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| 23.08.2010, 09:56 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ging von Anfang an immer nur um natürliche Zahlen. Ich zähle die 0 nicht dazu (aber das ist umstritten, ich weiss). |
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| 08.09.2010, 18:01 | anneke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum ist eigentlich die Vereinigung zweier Mengen kein Beispiel für eine Äquivalenzrelation? Ist doch auf jeden Fall reflexiv und symmetrisch. Und transitiv doch auch, oder nicht? Wenn A und B vereinig sind und B und C auch. Dann muss doch auch A und C verinigt sein. Auch wenn kein direkter "Kontakt" zwischen A und C besteht. Oder? Wo ist da mein Denkfehler? |
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| 08.09.2010, 21:14 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was heisst denn das: « Dann muss doch auch A und C verinigt sein.»? Was verstehst denn du unter Vereinigung? |
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| 08.09.2010, 21:45 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wisili hat einfach keine Ahnung von wahrer (Mengen-)Liebe. 
Edit: Das war natürlich nur ein kleiner Scherz.
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| 08.09.2010, 21:51 | anneke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weiß jetzt nicht, wie ich das darstellen soll. Aber es gibt doch da immer diese schönen Bildchen in der Mengenlehre. Also Menge A schneidet Menge B und beide Kreise sind komplett schraffiert, weil sie halt vereinigt sind. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/co...30/Venn0111.svg |
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| 08.09.2010, 21:54 | anneke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, Rechtschreibfehler passieren nun mal. Sind an dieser Stelle vielleicht unglücklich... Könnt ihr mir trotzdem weiterhelfen? |
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| 08.09.2010, 22:01 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hatte den Eindruck, dass du Mengen und deren Elemente durcheinanderbringst: Eine Relation in M ist eine Teilmenge von MxM, bestehend aus Paaren (x,y) von Elementen x und y aus M. Ausserdem ist die Vereinigung eine Operation und keine (2-stellige) Relation. Sie ist kommutativ, aber nicht symmetrisch. Und wie soll sie reflexiv sein können? |
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