span (Erklärung)

23.08.2010, 16:19	dejahr	Auf diesen Beitrag antworten »
span (Erklärung) Meine Frage: Hallo, ich habe Verständnisprobleme mit dem Untervektorraum und span. Habe z.B. die Aufgabe: Ist folgende Menge Untervektorraum? $\begin{eqnarray} U= \left\{(a,b,c,d) \in \mathbb R^4\|a+ 3b+ 2c+ 4d= 0\right\}\subseteq R^4 \end{eqnarray}$ ich weiß nicht wie ich da vorgehen soll? Meine Ideen: also so wie ich das bis jetzt verstanden habe muss jeder Untervektorraum den Nullvektor enthalen und die Rechenregeln von + und * erfüllen stimmt das und wenn ja wie beweis ich das? danke daniel
23.08.2010, 16:23	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Als erstes bietet es sich immer an, zu zeigen, dass der Nullvektor in der Menge ist. Anschließend zwei Elemente nehmen, die in der Menge sind, und zeigen, dass auch die Summe und ein skalares Vielfaches drin sind. So viel schon mal: Deine Menge ist ein UVR des IR^4. Unterraumkriterium.
23.08.2010, 17:59	dejahr	Auf diesen Beitrag antworten »
okay danke für die schnelle antwort. also wenn ich jetzt den Nullvektor in die Gleichung eingeben kommt 0=0 raus das stimmt also schon mal. wenn ich dann 2 beliebige Vektoren nehme $\begin{eqnarray} z.B \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \\ d_1 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \\ d_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann müsste $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \\ d_1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \\ d_2 \end{pmatrix} auch \in U sein \end{eqnarray}$ . wenn ich das jetzt in die Gleichung a+3b+2c+4d=0 einsetzte bekomme ich nach Umformen $\begin{eqnarray} \alpha (a_1+3b_1+2c_1+4d_1)+\beta (a_2+3b_2+2c_2+4d_2)=0 \end{eqnarray}$ daraus folgt doch da die Klammern sowieso 0 ergeben, dass $\begin{eqnarray} \alpha \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \\ d_1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \\ d_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in U sind unabhängig von Alpha und Beta Deshalb U = UVR stimmt meine lösung so und gibt es einen besseren Weg??? danke nochmal
23.08.2010, 18:59	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ist so in Ordnung mit dem Unformen. Hast alles richtig gemacht.
24.08.2010, 09:26	dejahr	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank

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