Summenberechnung

Neue Frage »

Clamat Auf diesen Beitrag antworten »
Summenberechnung
Meine Frage:
Ich schreibe in fünf Wochen Mathe 2 und habe folgende Übungsaufgabe, bei der ich mir nicht sicher bin, ob ich sie richtig gerechnet habe.

Aufgabentext: Berechnen Sie






Meine Ideen:
Ich habe das Quadrat erstmal außen vor gelassen und auf die Summe das Quotientenkriterium angewendet und bekomme dann heraus. Wenn ich das Ergebnis nun quadrieren würde, dann würde ich auf die in der Lösung stehenden kommen.

Gibt es irgendwelche Einwände oder kann man die Aufgabe so rechnen?
In der Vorlesung und in den Übungen hatten wir bisher nur Aufgaben ohne Quadrate.

Vorab schon mal vielen Dank für Eure Hilfe.

Gruß Benni
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das Quotientenkriterium ist ein Kriterium der Konvergenz, nicht des Konvergenzwertes!

Um den Wert zu berechnen wende ein bisschen Potenzgesetze und dann die geometrische Reihe an. Das Quadrat vorerst zu vergessen ist okay. Berechne den Summenwert und quadriere diesen dann eben.

air
Clamat Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir die Aufgabe dann mal vorrechnen?
Clamat Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Summe jetzt mal umgeformt, um die geometrische Reihe zu bekommen.



Richtig, oder?

mein q wäre dann

Wie gehts dann weiter?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Clamat
Könntest du mir die Aufgabe dann mal vorrechnen?


Nein, siehe unser Forenprinzip!

Deine Umformung ist korrekt, dein q dann aber wieder falsch. Etwas besser hinschauen!
Und sobald du dein q korrekt abgelesen hast musst du doch nur noch die Formel für die geometrische Reihe anwenden. Augenzwinkern Achte dabei darauf, dass deine Summe bei k=1 und nicht bei k=0 startet.

air
Clamat Auf diesen Beitrag antworten »

q ist

Mit der Formel der geom. Reihe würde ich dann folgendes herausbekommen:



Ist das soweit richtig? Wenn ja, was wäre dann der nächste Schritt?
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Formel der geometrischen Summe. Du hast aber eine unendliche Summe, also eine Reihe. Dementsprechend geht hier sozusagen .

Außerdem, wie gesagt, solltest du beachten, wo deine Summe anfängt.
Notfalls findest du zur geometrischen Reihe hier nochmal alles Nötige (bei dir ist ).

air
Clamat Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Formel der geometrischen Reihe anwende, dann bekomme ich als Ergebnis 3 heraus.
Irgendwie stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch... verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

"Gewissermaßen" stimmt 3 ja auch:



Du willst aber



berechnen. Du musst einerseits den Faktor 1/3 beachten, vor allem aber eben die Tatsache, dass du einen Summanden weniger hast. Und das beachtest du, indem du die Summe einfach frech bei k=0 beginnen lässt (dann kannst du den Wert wie oben berechnen) und den hinzugeschummelten Summanden konkret ausrechnest und wieder abziehst (um den Wert trotz allem nicht zu verändern).

Ein Beispiel für diese Verschiebung:



air
Clamat Auf diesen Beitrag antworten »

Also bekomme ich 3 heraus, ziehe davon 1 ab, weil gleich 1 ist.
Dann multipliziere ich die 2 mit , dem Vorfaktor.
Nun bekomme ich als Ergebnis, das quadriert ergibt dann meine gesuchten .

Richtig?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Freude

Ich hoffe, du hast auch verstanden, warum dein ursprünglicher Weg falsch war und nur zufällig das korrekte Ergebnis geliefert hat.

air
Clamat Auf diesen Beitrag antworten »

puuh, bin ich jetzt erleichtert. Vielen, vielen Dank.

Ja, der erste Weg hat mir doch quasi nur gezeigt, dass die Reihe konvergiert und einen Grenzwert besitzt, oder?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt. Das 'q' des Quotientenkriteriums hat mit dem Wert der Reihe nichts zu tun. Augenzwinkern

air
Clamat Auf diesen Beitrag antworten »

Ah sehr gut zu wissen. Eine Frage hätte ich aber noch. Wir hatten eine andere aufgabe gleichen typs, bei dem das n=2 war. Muss die 2 auch quadriert werden oder bleibt sie unberührt von dem quadrat hinter der Klammer?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du mit "n=2", dass die Summe erst bei 2 gestartet ist?
Wenn ja: Das hat mit dem Quadrat nichts zu tun. Die Summe ist ja ein eigenes Objekt, du berechnest "von innen nach außen".

air
Clamat Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die wird erst bei n=2 gestartet.
Eins habe ich noch nicht ganz bei der Aufgabe verstanden. Wieso setzten wir n=1 auf n=0 ?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Formel für die geometrische Reihe nunmal "verlangt", dass die Summe bei n=0 startet. Das können wir nicht ignorieren. Da wir aber auch nicht einfach irgendwelche Summanden hinzumogeln dürfen, müssen wir ihn korrekterweise auch wieder abziehen.

air
Clamat Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, das habe ich eben ganz übersehen.

Nochmals vielen Dank für deine Ausführliche Hilfe, auch im Namen meiner Lerngruppe, der ich die Aufgabe morgen dann erklären werde.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen und viel Erfolg! Freude

air
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »