Hilbertraum

26.08.2010, 14:38

saxolophon

Hilbertraum

Hi,

Ich hab ein paar Verständnisfragen zum hilbert haben ihn definiert als ein vektorraum mit pos definitem Skalarprodukt, in dem jede Cauchy-Folge an Vektoren bzgl der Norm einen Grenzwert in v hat.

Die erste Frage wäre wie ich mir eine Cauchyfolge von Vektoren z.B. im $\begin{eqnarray*} R^{3} \end{eqnarray*}$ vorstellen kann.

Wäre das zum Beispiel einfach so etwas:
$\begin{eqnarray*} a_{n} =\begin{pmatrix} 1+\frac{1}{n} \\ 5+\frac{2}{n} \\ 3+\frac{3}{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wo die Konvergenz dann über die Norm definiert wird:
$\begin{eqnarray*} | \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1+\frac{1}{n} \\ 5+\frac{2}{n} \\ 3+\frac{3}{n} \end{pmatrix} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ für n>N ??

Und dann noch ein paar Beispiele:

1. In der Vorlesung hatten wir, dass der Vektorraum der Polynomfunktionen kein Hilbertraum ist. Liegt das daran, dass man zum Beispiel $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ als Cauchy Folge von Polynomfunktionen darstellen kann, der Grenzwert dieser Folge, also $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ dann aber nicht im Vektorraum liegt?

2. Wenn man die rationalen Zahlen als vektorraum über den Körper der rationalen Zahlen darstellt, dann ist es auch kein Hilbertraum weil man ja Cauchy Folgen finden die in Q keinen grenzwert haben sondern in R.
Der Vektorraum der reellen Zahlen über den Körper der rationalen Zahlen müsste dagegen wieder ein Hilbert Raum sein.

Stimmt das?

26.08.2010, 16:56

system-agent

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Zuallererst:
Du musst zu jedem Hilbertraum auch die von dir betrachtete Norm angeben.

Also du willst Cauchyfolgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ haben, die bezüglich der üblichen Norm konvergieren. Dann ist dein Beispiel korrekt.
Die Konvergenz hier ist so definiert, dass die zugehörigen drei Folgen der Einträge jeweils gegen irgendwas konvergieren müssen.
Konvergiert jeder Eintrag, dann konvergiert die Vektorfolge.

Zu 1)
Auch hier: welche Norm?
Aber du meinst schon das Richtige.

Zu 2)
Wieder: welche Norm?
Du meinst die Betragsnorm, und dann hast du recht. Man kann eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ finden, die zb gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert, also kein vollständiger Raum.

26.08.2010, 22:42

saxolophon

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RE: Hilbertraum
Dann noch mal zum Beispiel 1.
Die Norm ist definiert durch (a ist immer -1 b ist immer 1):
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\int_a^b \! f²(x) \, dx } \end{eqnarray*}$

Jetzt nehmen wir den Vektor f(t)=e^x
Wenn ich richtig gerechnet habe müsste der die Norm $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2} \left(e^{2} -e^{-2} \right) } \end{eqnarray*}$ haben

Und jetzt definieren wir eine Folge $\begin{eqnarray*} g(t)_{n} =\sum\limits_{k=0}^n \frac{t^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

Die Norm dieser Folge hat dann auch als Grenzwert $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2} \left(e^{2} -e^{-2} \right) } \end{eqnarray*}$ , aber weil kein Vektor aus dem Vektorraum der Polynomfunktionen diese Norm hat, ist es kein Hilbertraum.

Ist das so richtig?

Wenn ja, wieso ist dann beispielsweise der $\begin{eqnarray*} Q^{3} \end{eqnarray*}$ über dem Körper Q ein Hilbertraum (wir hatten in der Vorlesung den Satz, jeder endlichdimensionale Raum ist einer)?

Weil hier könnte man ja auch beispielsweise eine Vektorfolge finden, die gegen einen Vektor aus dem $\begin{eqnarray*} R^{3} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

27.08.2010, 07:32

system-agent

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Moment, du betrachtest den Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ aller Polynome auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ mit der angegebenen Norm. Auf einmal packst du den "Vektor" $\begin{eqnarray*} f(t)=e^t \end{eqnarray*}$ aus. Diese Funktion ist aber doch garnicht in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ enthalten, denn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ enthält nur Polynome.
Sprich von dem Ding eine Norm bestimmen zu wollen ist Unsinn.

Ja, deine Folge $\begin{eqnarray*} g_n(t) \end{eqnarray*}$ ist für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein Polynom, also auch Element von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Nun musst du ersteinmal beweisen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge ist bezüglich deiner Norm $\begin{eqnarray*} \|f\|:=\sqrt{\int\limits_{-1}^{1}f^2(t)\dd t} \end{eqnarray*}$ .

Im Klartext heisst das: Zeige, dass man für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden kann derart, dass für $\begin{eqnarray*} m,n\geq N \end{eqnarray*}$ immer
$\begin{eqnarray*} \|g_n-g_m\|<\epsilon \end{eqnarray*}$
gilt.

Erst wenn du das gezeigt hast, dann folgt, dass ihr Grenzwert nicht in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ liegt [da dieser tatsächlich die Exponentialfunktion ist].

Hattet ihr in der Vorlesung vielleicht den Satz, dass jeder endlichdimensionale $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraum ein Hilbertraum ist?
Um nicht immer $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ schreiben zu müssen schreibt man dafür manchmal auch $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ .

27.08.2010, 11:51

saxolophon

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Dann versuche ich mal zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ eine Cauchy Folge ist (hoffe ich hab richtig integriert):

$\begin{eqnarray*} || g_{n} -g_{m} || = ||\sum\limits_{k=0}^n \frac{t^{k}}{k!} -\sum\limits_{k=0}^m \frac{t^{k}}{k!}|| = ||\sum\limits_{k=m}^n \frac{t^{k}}{k!}||=\sqrt{\int_{-1}^1 \! \sum\limits_{k=m}^n \frac{t^{k} }{k!} \, dt } = \sqrt{\sum\limits_{k=m}^n \frac{1-(-1)^{(k+1)}}{(k+1)!} } \leq \sqrt{\sum\limits_{k=m}^n \frac{2}{(k+1)!} } < \epsilon \end{eqnarray*}$

bei geeigneter Wahl von m und n und $\begin{eqnarray*} n\geq m \end{eqnarray*}$

Und jetzt liegt der Grenzwert dieser Norm, sprich $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2} \left(e^{2}-e^{-2} \right) } \end{eqnarray*}$ aber nicht in V, weil ich hier keinen Vektor mit genau dieser Norm finde?

Ja in der Vorlesung hatten wir den Satz, dass der endlichdimensionale $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ein Hilbertraum ist. Aber ich dachte K steht für einen beliebigen Körper, also auch Q ?

Außerdem hatten wir den Satz mit Hilfe eines K-VR-Isomorphismus auf alle endlichdimensionalen K-VR verallgemeinert.

27.08.2010, 12:47

system-agent

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Zitat:

Original von saxolophon
Dann versuche ich mal zu zeigen dass $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ eine Cauchy Folge ist (hoffe ich hab richtig integriert):

$\begin{eqnarray*} || g_{n} -g_{m} || = ||\sum\limits_{k=0}^n \frac{t^{k}}{k!} -\sum\limits_{k=0}^m \frac{t^{k}}{k!}|| = ||\sum\limits_{k=m}^n \frac{t^{k}}{k!}||=\sqrt{\int_{-1}^1 \! \sum\limits_{k=m}^n \frac{t^{k} }{k!} \, dt } = \sqrt{\sum\limits_{k=m}^n \frac{1-(-1)^{(k+1)}}{(k+1)!} } \leq \sqrt{\sum\limits_{k=m}^n \frac{2}{(k+1)!} } < \epsilon \end{eqnarray*}$

bei geeigneter Wahl von m und n und $\begin{eqnarray*} n\geq m \end{eqnarray*}$

Da sind Fehler drin.
Sei $\begin{eqnarray*} n>m \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \|g_n-g_m\|=\left\|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{t^k}{k!}\right\| \end{eqnarray*}$
Beachte die untere Grenze der Summe.
Dann kann man die Eigenschaften der Norm [wofür man natürlich einmal gezeigt haben muss, dass $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich eine Norm auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist] nutzen:
$\begin{eqnarray*} \leq\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{1}{k!}\|t^k\| \end{eqnarray*}$ .
Nun rechnest du nach, dass $\begin{eqnarray*} \|t^k\|=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2k+1}} \end{eqnarray*}$ .
Nun setze ein, schätze ab und erkenne die Exponentialreihe.

In deiner Argumentation hast du einfach ohne Begründung gesagt, dass man das kleiner als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kriegt falls man $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ gross genug wählt. Die Frage ist allerdings wieso?
Hinweis: Die Exponentialreihe konvergiert in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von saxolophon
Und jetzt liegt der Grenzwert dieser Norm, sprich $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2} \left(e^{2}-e^{-2} \right) } \end{eqnarray*}$ aber nicht in V, weil ich hier keinen Vektor mit genau dieser Norm finde?

Das ist doch Unsinn. Lies nochmal meinen letzten Beitrag und denke darüber nach, was man mit dem obigen überhaupt zeigen will.
Dann überlege dir was $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}g_n(x) \end{eqnarray*}$ ist. Dann überlege dir, was gelten müsste, falls $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit dieser Norm ein Hilbertraum wäre.

Zitat:

Original von saxolophon
Ja in der Vorlesung hatten wir den Satz, dass der endlichdimensionale $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ein Hilbertraum ist. Aber ich dachte K steht für einen beliebigen Körper, also auch Q ?

Dann müsste der Satz zb. auch für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ selbst gelten, da jeder Körper ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst ist, was offensichtlich falsch ist.

Zitat:

Original von saxolophon
Außerdem hatten wir den Satz mit Hilfe eines K-VR-Isomorphismus auf alle endlichdimensionalen K-VR verallgemeinert.

Und?

27.08.2010, 18:13

saxolophon

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Zitat:

Original von system-agent

Da sind Fehler drin.
Sei $\begin{eqnarray*} n>m \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \|g_n-g_m\|=\left\|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{t^k}{k!}\right\| \end{eqnarray*}$
Beachte die untere Grenze der Summe.
Dann kann man die Eigenschaften der Norm [wofür man natürlich einmal gezeigt haben muss, dass $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich eine Norm auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist] nutzen:
$\begin{eqnarray*} \leq\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{1}{k!}\|t^k\| \end{eqnarray*}$ .
Nun rechnest du nach, dass $\begin{eqnarray*} \|t^k\|=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2k+1}} \end{eqnarray*}$ .
Nun setze ein, schätze ab und erkenne die Exponentialreihe.

In deiner Argumentation hast du einfach ohne Begründung gesagt, dass man das kleiner als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kriegt falls man $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ gross genug wählt. Die Frage ist allerdings wieso?
Hinweis: Die Exponentialreihe konvergiert in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \|g_n-g_m\|=\left\|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{t^k}{k!}\right\|\leq \sum\limits_{k=m+1}^n\frac{1}{k!}\|t^k\|=\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{\sqrt{2} }{k!\sqrt{2k+1} }\leq \sqrt{2} \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} = \sqrt{2} \cdot e \end{eqnarray*}$

Also is die Norm der Folge beschränkt durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot e \end{eqnarray*}$ und monoton wachsend. Das heißt sie konvergiert und ist eine Cauchy-Folge.

Aber gut, was hat man denn jetzt damit gezeigt?
Hat man jetzt, weil die Norm der Folge eine Cauchy-Folge ist, automatisch mitgezeigt, dass die Vektorfolge $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert hat, der hier aber offensichtlich nicht in V liegt?
Also verallgemeinert: wenn die Norm einer Vektorfolge existiert, existiert automatisch auch ein Grenzwert dieser Vektorfolge?

Nur dann verstehe ich nicht, wieso man zeigen soll, dass die Norm einer Vektorfolge eine Cauchyfolge ist, denn die Norm ist ja immer eine reelle Zahl. Das heißt man zeigt doch eigentlich immer, dass die Norm in R konvergiert und nicht nur eine Cauchyfolge ist.

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Dann müsste der Satz zb. auch für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ selbst gelten, da jeder Körper ein eindimensionaler Vektorraum über sich selbst ist, was offensichtlich falsch ist.

Zitat:

Original von saxolophon
Außerdem hatten wir den Satz mit Hilfe eines K-VR-Isomorphismus auf alle endlichdimensionalen K-VR verallgemeinert.

Und?

Also zusammengefasst:

Mit K-VR meint man immer nur R und C ? Und einen Vektorraum über Q muss man dann Q-VR nennen ?

27.08.2010, 19:38

system-agent

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Zitat:

Original von saxolophon
$\begin{eqnarray*} \|g_n-g_m\|=\left\|\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{t^k}{k!}\right\|\leq \sum\limits_{k=m+1}^n\frac{1}{k!}\|t^k\|=\sum\limits_{k=m+1}^n\frac{\sqrt{2} }{k!\sqrt{2k+1} }\leq \sqrt{2} \sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} = \sqrt{2} \cdot e \end{eqnarray*}$

Hast du überhaupt gelesen was ich geschrieben habe? unglücklich

Das ist nämlich Unsinn. Nochmals: Es steht nicht umsonst unter der Summe " $\begin{eqnarray*} k=m+1 \end{eqnarray*}$ " und als obere Grenze " $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ".

Also alles ist OK bis
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m+1}^n\frac{\sqrt{2} }{k!\sqrt{2k+1} } \end{eqnarray*}$

Es gilt sicher $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2} }{k!\sqrt{2k+1} }\leq\sqrt{2}\frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$ .
Nun was sagt das Cauchykriterium für Reihen?

Zitat:

Original von saxolophon
Also is die Norm der Folge beschränkt durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \cdot e \end{eqnarray*}$ und monoton wachsend. Das heißt sie konvergiert und ist eine Cauchy-Folge.

Das ist alles Unsinn.

Zitat:

Original von saxolophon
Aber gut, was hat man denn jetzt damit gezeigt?

Du solltest zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (g_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge bzgl der Norm $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ ist. Was dazu zu zeigen war, steht in einem vorigen Beitrag von mir. Und genau das versuchen wir hier zu tun.

Zitat:

Original von saxolophon
Hat man jetzt, weil die Norm der Folge eine Cauchy-Folge ist, automatisch mitgezeigt, dass die Vektorfolge $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ einen Grenzwert hat, der hier aber offensichtlich nicht in V liegt?

Nein. Man hat nur gezeigt dass die Folge eine Cauchyfolge ist bezüglich dieser Norm.
Wenn sie einen Grenzwert hätte, dann müsste der auch in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ liegen - tut er aber nicht, da die Folge Punktweise gegen die Exponentialfunktion konvergiert, also müsste das der Grenzwert sein [ist es aber nicht, da wir nur Elemente in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ betrachten].

Zitat:

Original von saxolophon
Also verallgemeinert: wenn die Norm einer Vektorfolge existiert, existiert automatisch auch ein Grenzwert dieser Vektorfolge?

Wieder Unsinn. Die Norm eines Vektors existiert immer und eine Folge hat keine Norm.
Der Witz ist doch: Falls man eine Cauchyfolge bzgl einer Norm hat, dann will man, dass diese Folge auch einen Grenzwert im betreffenden Raum hat.
Ist das immer so, heisst der Raum vollständig.
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit dem Betrag als Norm ist zb vollständig, aber dein obiger Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit der Norm $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ eben nicht.

Zitat:

Original von saxolophon
Nur dann verstehe ich nicht, wieso man zeigen soll, dass die Norm einer Vektorfolge eine Cauchyfolge ist, denn die Norm ist ja immer eine reelle Zahl. Das heißt man zeigt doch eigentlich immer, dass die Norm in R konvergiert und nicht nur eine Cauchyfolge ist.

Nochmals: Die Norm konvergiert nicht, sondern eine gewisse Folge bezüglich einer gewissen Norm.

Zitat:

Original von saxolophon
Mit K-VR meint man immer nur R und C ? Und einen Vektorraum über Q muss man dann Q-VR nennen ?

"Man" meint das, wenn IHR es so definiert habt. Nicht mehr oder weniger. Ich habe dir nur gesagt was oft als Abkürzung genutzt wird.

Zitat:

Original von saxolophon
Und einen Vektorraum über Q muss man dann Q-VR nennen ?

Ja, im Prinzip schon, genau wie in der Linearen Algebra.

27.08.2010, 20:36

saxolophon

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Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Hast du überhaupt gelesen was ich geschrieben habe? unglücklich

So wie wirs hatten, sagt es:

Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen eine Cauchyfolge ist.
Also neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m+1}^n\frac{\sqrt{2} }{k!\sqrt{2k+1} }\leq \sqrt{2} \sum\limits_{k=m+1}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Und da wir wissen, dass die Exponentialreihe in R konvergiert und somit eine Cauchyfolge ist, ist die Folge $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ bzgl ihrer Norm auch eine.

Ist es so richtig?

Was ich oben machen wollte, war das: wenn man die Folge $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ bzgl ihrer Norm betrachtet, dann erhält man doch diese Reihe:
$\begin{eqnarray*} ||g_{n} ||\leq ||\sum\limits_{k=0}^n\frac{\sqrt{2} }{k!\sqrt{2k+1} } || \end{eqnarray*}$

Weil diese Reihe beschränkt durch die Exponentialreihe ist, und weil sie monoton wächst, muss sie in R konvergieren. Daraus folgt, dass sie eine Cauchyfolge ist.
Was ist an dieser begründung falsch?

Wenn das immer noch nicht stimmt, weiß ich einfach nicht worauf du hinauswillst, wie ich zeigen soll, dass es eine Cauchyfolge ist.

Und nochmal die Frage: Wenn ich jetzt gezeigt habe, das eine Vektorfolge bzgl einer Norm eine Cauchyfolge ist, kann ich dann auch sagen dass diese Folge bezüglich ihrer Norm in R konvergiert oder nicht?

PS: Danke für deine Geduld smile

27.08.2010, 21:30

system-agent

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Zitat:

Original von saxolophon
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m+1}^n\frac{\sqrt{2} }{k!\sqrt{2k+1} }\leq \sqrt{2} \sum\limits_{k=m+1}^n \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von saxolophon
Und da wir wissen, dass die Exponentialreihe in R konvergiert und somit eine Cauchyfolge ist, ist die Folge $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ bzgl ihrer Norm auch eine.

Ja, das ist die Begründung. Die Reihe konvergiert, also kann man ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ derart, dass falls $\begin{eqnarray*} n,m>N \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m+1}^n\frac{1}{k!}<\frac{\epsilon}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
und damit folgt, dass $\begin{eqnarray*} \|g_n-g_m\|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n,m>N \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} (g_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge im Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Der Knackpunkt ist die Formulierung "bzgl ihrer Norm". Du hast eine Folge. OK. Dann hast du eine Norm, nämlich $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ . Nun ist die Frage, ob die Folge bezüglich dieser Norm eine CF ist oder nicht.
Ich habe "bzgl ihrer Norm" und das was du oben versuchst hattest zu tun interpretiert, als dass du die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} \|g_n\| \end{eqnarray*}$ [eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ] betrachten willst. Dabei ist es vollkommen egal was diese Folge tut.

Zitat:

Original von saxolophon
Was ich oben machen wollte, war das: wenn man die Folge $\begin{eqnarray*} g_{n} \end{eqnarray*}$ bzgl ihrer Norm betrachtet, dann erhält man doch diese Reihe:
$\begin{eqnarray*} ||g_{n} ||\leq ||\sum\limits_{k=0}^n\frac{\sqrt{2} }{k!\sqrt{2k+1} } || \end{eqnarray*}$

Weil diese Reihe beschränkt durch die Exponentialreihe ist, und weil sie monoton wächst, muss sie in R konvergieren. Daraus folgt, dass sie eine Cauchyfolge ist.
Was ist an dieser begründung falsch?

Wie gesagt, die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} (\|g_n\|) \end{eqnarray*}$ ist egal. Sie sagt nichts.

Zitat:

Original von saxolophon
Und nochmal die Frage: Wenn ich jetzt gezeigt habe, das eine Vektorfolge bzgl einer Norm eine Cauchyfolge ist, kann ich dann auch sagen dass diese Folge bezüglich ihrer Norm in R konvergiert oder nicht?

Nein, auch hier vermischst du die beiden Dinge.
Damit eine Folge $\begin{eqnarray*} (g_n) \end{eqnarray*}$ in einem Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , der mit einer Norm $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ ausgestattet ist, eine Cauchyfolge ist, musst du überprüfen, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt derart, dass falls $\begin{eqnarray*} n,m>N \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} \|g_n-g_m\|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .

Falls das erfüllt ist, dann weisst du es ist eine CF, nicht mehr und nicht weniger.
Falls der Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ bezüglich der Norm $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ vollständig ist, dann konvergiert die Folge auch, sprich sie nähert sich einem Element $\begin{eqnarray*} g\in V \end{eqnarray*}$ beliebig an.

Wenn du die Folge $\begin{eqnarray*} (\|g_n\|) \end{eqnarray*}$ betrachtest, dann sagt das a priori nichts über die Folge $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ aus.

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