unendlich viele Primzahlen in arithmetischen Folgen

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_-Rike-_ Auf diesen Beitrag antworten »
unendlich viele Primzahlen in arithmetischen Folgen
Meine Frage:
Hallo.
Ich hab ein Problem. Ich schreibe gerade an meiner Masterarbeit und dass in Zahlentheorie. Ich hab das Thema "Primzahlen in arithmetischen Progressionen" und muss Beweise für 4 verschiedene Formen von Primzahlen anwenden (u.a. der Form 4k+1). Die hab ich schon fertig.

Jetzt muss ich aber auch beweisen, dass eine gewisse Vereinigung von 3 arithmetischen Folgen unendlich viele Primzahlen hat:
p äquivalent zu a (mod m)
und dann für a=3,5,7 und m=7
sprich: Primzahlen der Form 7k+3, 7k+5, 7k+6



Meine Ideen:
Ich habe schon einen kleinen Tipp bekommen, aber weiß nicht so recht wie ich starten und vorgehen muss: Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen p_1, p_2, ..., p_n von diesen drei Formen. Bilden Sie

N = 7 * p_1*p_2*...*p_n - 2

und gehen Sie wie in Euklids Beweis vor. Warum wuerde -1 statt -2 hier nicht funktionieren?

Könnt ihr mir vielleicht helfen?!?!
Grüße, Rike
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unendlich viele Primzahlen in arithmetischen Folgen
Zitat:
Original von _-Rike-_
und dann für a=3,5,7 und m=7
sprich: Primzahlen der Form 7k+3, 7k+5, 7k+6


Es muss wohl heissen: a=3,5,6 und m=7

Nach einem Satz enthält schon JEDE der 3 Folgen unendlich viele Primzahlen; was heisst dann «eine gewisse Vereinigung»?
_-Rike-_ Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt, da hab ich mich verschrieben. Also für a = 3,5,6

Das mit der Vereinigung versteh ich auch nicht so ganz. Irgendwie halt der Zusammenschluss der drei Formen. Der Beweis soll ähnlich wie der für 4k+1 gehen. Irgendwie soll man die drei in 2 Sorten einsortieren und die Vereinigung von Restklassen überprüfen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Au weia, ich will dich ja nicht entmutigen, aber wenn du wirklich eine Masterarbeit in Zahlentheorie schreiben willst, solltest du irgendwann auch Aufgaben wie diese in 10s lösen...

Tipp: 3,5,6 sind gerade die Nichtquadrate mod 7, insbesondere also auch -2... In der Primfaktorzerlegung von N können also mod 7 nicht lauter Quadrate vorkommen...
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