Grenzwert einer (komplizierten) Reihe

27.08.2010, 12:23	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer (komplizierten) Reihe Meine Frage: Hallo alle miteinander, Ich stehe zurzeit vor einem großen Problem, bei dem ich nicht weiterkomme. Und zwar handelt es sich dabei um die unendliche Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{cos\left(\pi \cdot \left(k+1\right)-3\cdot In\left(k\right) \right) }{\sqrt{k} } \end{eqnarray}$ Ich bin mir ziemlich sicher, dass diese Reihe konvergiert. Wie komme ich aber an ihren Grenzwert? Leider habe ich bisher noch keine Ansätze, da mir Reihe, in denen beispielsweise der Kosinus auftauchen vollkommen unbekannt sind. Kann mir da vielleicht jemand einen Denkanstoß geben? Ich würde mich über jede Art von Antwort sehr freuen. Mit freundlichen Grüßen, PeterH Meine Ideen:
27.08.2010, 12:42	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
edit: Hatte ne Klammer falsch gesetzt... Also nun sieht es laut Wolfram Alpha so aus, als liege der Grenzwert ca. bei 1. Werd mal noch überlegen wie man das zeigen kann.
27.08.2010, 12:58	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mir folgendes überlegt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{cos\left(\pi \cdot \left(k+1\right)-3\cdot In\left(k\right) \right) }{\sqrt{k} } = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos (\pi (k+1))\cos (3\ln (k)) + \sin (\pi (k+1))\sin (3\ln (k))) }{\sqrt{k} } = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\cos (\pi (k+1))\cos (3\ln (k))}{\sqrt{k} } = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}\cos (3\ln (k))}{\sqrt{k} } \end{eqnarray}$ Aber für den genauen Grenzwert hab ich noch keine konkrete Idee. EDIT von Calvin Zeilenumbruch eingefügt
27.08.2010, 13:36	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
@kvnb Danke schonmal für deine Antwort. Wenigstens ist dadurch schonmal meine Vermutung bestätigt, dass die Reihe konvergiert. So werde ich gleich wenigstens nicht von der Nachricht überrascht, dass es keinen Grenzwert gibt . Mfg PeterH
27.08.2010, 16:46	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat möglicherweise sonst noch jemand eine Idee das Ergebnis wenigstens näherungsweise zu berechnen? Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen. Mfg PeterH
27.08.2010, 17:39	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \frac {\cos(\pi(k+1)-3\ln k)}{\sqrt k}=Re\left(\sum_{k=1}^\infty \frac {\exp(\pi(k+1)i-3i\ln k)}{\sqrt k}\right)= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =Re\left(\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}{k^{1/2+3i}}\right)=Re(\eta(1/2+3i))=Re((1-2^{1/2-3i})\zeta(1/2+3i)) \end{eqnarray}$ Demnach wäre der Wert ca. 0.997, jedenfalls sehr nahe bei 1...
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27.08.2010, 21:16	PeterH	Auf diesen Beitrag antworten »
Klasse! Danke für die Antwort. Mfg PeterH

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