Sowas ähnliches wie nilpotent?

27.08.2010, 21:56

gadreel

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Sowas ähnliches wie nilpotent?

Es sei K ein Körper und A $\begin{eqnarray*} \in K^{n*n} \end{eqnarray*}$ eine Matrix, wobei n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N und n >= 2 ist. Das Minimalpolynom von A sei gleich $\begin{eqnarray*} X^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass dann das charakteristische Polynom von A gleich X^n ist.

Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich weis, dass es nilpotente Matrizen gibt, aber bei denen ist doch das Minimalpolynom nicht X^n-1?

28.08.2010, 12:55

Elvis

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Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom und enthält alle Faktoren des charakteristischen Polynoms. Also ist das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} X^{n-1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X^{n+k},k\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ . Welchen Grad hat das charakteristische Polynom ?

31.08.2010, 19:13

gadreel

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Sorry, musste die letzten Tage weg.

Welchen Grad? n oder was meinst du?

Es ist doch so, dass wenn ich die Matrix in das Minimalpolynom einsetze null rauskommt oder?
Aber wenn ich jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} X^{2} \end{eqnarray*}$ habe, dann ist nach der Aussage X das Minymalpolynom, aber wie soll das 0 werden???

31.08.2010, 19:20

jester.

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Zitat:

Original von gadreel
Aber wenn ich jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} X^{2} \end{eqnarray*}$ habe, dann ist nach der Aussage X das Minymalpolynom

Nein, dort steht, wenn das Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} X^{n-1} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} X^n \end{eqnarray*}$ .

Die einzige Matrix, die $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ als Minimalpolynom hat, ist die Nullmatrix.

31.08.2010, 19:24

Elvis

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In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} \mu(X)=X \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom, also $\begin{eqnarray*} 0=\mu(A)=A \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \chi(X)=X^2 \end{eqnarray*}$ das charakteristische Polynom und $\begin{eqnarray*} \chi(A)=A^2=0^2=0 \end{eqnarray*}$ , und die Behauptung stimmt.

31.08.2010, 19:44

gadreel

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Ah danke, das mit der Nullmatrix hatte ich mal im Kopf aber dachte immer die wollen was anderes.
Der Professor meinte auch mal wir sollen nicht zu kompliziert denken! Big Laugh

Big Laugh

Danke für die Hilfe!

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31.08.2010, 19:49

Elvis

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Bitte sehr ... du bist noch nicht fertig, wir haben bisher nur den Fall n=2 erledigt. Was ist mit n=65789678965789656556745367 ?

31.08.2010, 20:19

gadreel

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Bei einer Matrix die keine Nullmatrix ist, geht das doch nicht oder?
Es gibt zwar nilpotente Matrizen, die bei einem n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N die Nullmatrix ergeben, aber laut Definition für ein n-1 nicht mehr.

31.08.2010, 20:22

Iorek

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Das ist doch auch gar nicht gefragt...

Zitat:

Original von Elvis
Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom und enthält alle Faktoren des charakteristischen Polynoms. Welchen Grad hat das charakteristische Polynom ?

Wie wäre es mit diesem Gedankenanstoß von Elvis?

31.08.2010, 20:25

gadreel

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Das muss doch dann mind. den Gleichen Grad haben oder höher?

31.08.2010, 20:26

Iorek

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Welchen Grad hat das charakteristische Polynom einer $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrix?

31.08.2010, 20:33

gadreel

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n?

31.08.2010, 20:34

Iorek

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Ja, jetzt verwende den zweiten Anstoß von Elvis und du bist fertig.

01.09.2010, 14:46

gadreel

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Laut Definition muss ja das charakteristische Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms sein.

z.Z. $\begin{eqnarray*} X^{n}=k*X^{n-1} \end{eqnarray*}$
IA: $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X^{3}=k*X^{2} \end{eqnarray*}$
IH: n -> n+1
IS: $\begin{eqnarray*} X^{n+1}=X^{n}*X=k*X^{n-1}*X=k*X^{n} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das ist jetzt kein Unfug! Big Laugh

Big Laugh

01.09.2010, 19:52

Elvis

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Das k brauchen wir nicht, Induktion auch nicht. Damit wir zum Schluss kommen, fasse ich mal zusammen.

$\begin{eqnarray*} (X^{n-1}=\mu(X)|\chi(X), grad(\chi(X))=n)\Rightarrow \chi(X)=X^{n-1}\cdot(X-\alpha) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ((X-\alpha)|\chi(X) \Rightarrow(X-\alpha)|\mu(X)=X^{n-1})\Rightarrow (X-\alpha)=X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \chi(X)=X^n \end{eqnarray*}$

02.09.2010, 18:07

gadreel

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ah danke :-)

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