quadratische Form t berechnen...SilvesterNF

28.08.2010, 13:59

pablosen

quadratische Form t berechnen...SilvesterNF

Hallo zusammen

Ich habe hier noch folgende Aufgabe, die ich nicht fertig lösen kann:

Definiere quadratische Form $\begin{eqnarray*} q: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} q(x,y,z) = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 7 & -5 \\ 7 & 6 & -4 \\ -5 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimme die Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \\ \hat{z} \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} q(\hat{x},\hat{y},\hat{z}) = \hat{x}^2 + \hat{y}^2 + \hat{z}^2 \end{eqnarray*}$ .

Was habe ich bisher: Die Eigenwerte von q sind allesamt positiv. Die Silvesternormalform davon ist die Einheitsmatrix mit Dimension 3.

Ich habe mir überlegt, dass die Einheitsmatrix der Dimension 3 diese Bedingung erfüllt:

$\begin{eqnarray*} q(\hat{x},\hat{y},\hat{z}) = \hat{x}^2 + \hat{y}^2 + \hat{z}^2 \end{eqnarray*}$ (?)

Wie aber muss ich weiterrechnen? Kann mir vlt. jmd. einen Tipp geben? Das T für die Silvesternormalform habe ich schon berechnet, jedoch kann ich damit irgendwie nix anfangen...(?)

Grüsse&Danke fürs Lesen

30.08.2010, 10:00

pablosen

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RE: quadratische Form t berechnen...SilvesterNF
Ist etwas unklar? Ist die Aufgabenstellung falsch?

07.09.2010, 12:33

pablosen

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RE: quadratische Form t berechnen...SilvesterNF
Ich erlaube es mir noch ein letztes Mal, hier zu pushen.

Etwas unklar? Kommt schon Freude

, irgendein Tipp?

Vlt. liegt es nur an der Gleichung, die ich unfähig bin, aufzustellen...(?)

Ich habe die Silvesternormalform der Matrix, aber ich kann das mit den Vektoren nicht zu einem sinnvollen Ergebnis führen...

Grüsse
Pablo

07.09.2010, 12:49

jester.

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Hallo,

du kannst für deine Matrix, die ich mal $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ nenne, eine Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} T^{tr}QT=E_3 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn du sagst, dass du $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ schon hast, dann bist du doch fertig. Oder verstehe ich dich falsch?

07.09.2010, 14:49

pablosen

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Zitat:

Original von jester.
Hallo,

du kannst für deine Matrix, die ich mal $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ nenne, eine Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} T^{tr}QT=E_3 \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn du sagst, dass du $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ schon hast, dann bist du doch fertig. Oder verstehe ich dich falsch?

Ja, okay, danke. Habe jetzt eine Anleitung zur Musterlösung vom Kollegen bekommen:

Zitat:

i.e. we want T such that $\begin{eqnarray*} T^T A T=I_3 \end{eqnarray*}$ for $\begin{eqnarray*} I_3 := \end{eqnarray*}$ identity matrix $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R}^{3 \times3} \end{eqnarray*}$ because

$\begin{eqnarray*} x^T T^T A T x = x^T I_3 x = x^T x = \hat{x}^2 + \hat{y}^2 + \hat{z}^2<br /> \end{eqnarray*}$ for $\begin{eqnarray*} x := \begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \\ \hat{z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich dachte halt, da sei noch etwas mehr dabei, aber das ist wirklich die ganze Aufgabe.
Erledigt smile

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