Beweis zu orthogonalen Projektionen und Unterräumen

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pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu orthogonalen Projektionen und Unterräumen
Guten Abend

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Seien Untervektorräume eines euklidischen oder unitären Vektorraumes und seien bzw. die orthogonale Projektion auf bzw. . Zeigen Sie:

Gilt , ist .


Mein Beweis:

Zu zeigen:

Seien orthonormale Basis von , orthonormale Basis von ,

Da dies Orthonormalbasen:
für (*)
für (**)
















Alles korrekt so, oder?

Grüsse
Pablo
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu orthogonalen Projektionen und Unterräumen
Was ich hier nicht verstehe ist:

, .
Imo ist

nicht sinnvoll definiert. Sei

, dann ist



und was soll nun davon sein ?

[edit] Die orthogonale Projektion ist doch eindeutig, also

und weiterhin eine Projektion, dh.

[Edit]^3

Außerdem: Es hat zwar jeder VR (mit endlich abzählbarer Dimension ) eine ONB, es ist aber nicht gesagt, dass die ONB von U eine Teilmenge der ONB von V ist. Soll heißen, wenn du eine Basis von V orthonormierst, kann es sein, dass du nicht einfach Vektoren abspalten kannst und ein Erzeugendensystem von U erhälst und andersrum, wenn du eine Basis von U nimmst und die orthonormierst, kann es sein, dass du diese nicht orthogonal zu einer Basis von V ergänzen kannst.

Zum Beispiel:

Orthonormiert bekomme ich und man sieht, es ist nicht mehr einfach "aufspaltbar".
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu orthogonalen Projektionen und Unterräumen
edit^5:

Also der Beweis ist falsch?
Zitat:
Orthonormiert bekomme ich und man sieht, es ist nicht mehr einfach "aufspaltbar".
Aber dann ist U doch genau ?
Tarnfara Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu orthogonalen Projektionen und Unterräumen
Zitat:
Original von pablosen
Imho ist doch , weil es ja eine Projektion auf sich selbst ist, wenn ???


Ja genau. Mein Fehler. Ignorier meine Antwort einfach, ich glaube, dass das soweit richtig ist, ich sehe jedenfalls keinen Fehler.

Zitat:

in diesem Fall, also doch aufspaltbar ??? (auch das meine ich eher als Frage, will da nix falsches behaupten.)

Ne, da hast du auch Recht. Ich habe da etwas verwechselt. Tut mir Leid.

War gerade völlig woanders (und hab mich nebenbei auch noch ordentlich verrechnet beim Orthonormieren).

LG
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu orthogonalen Projektionen und Unterräumen
Ich verstehe jetzt, warum man mir immer riet, besser nichts zu schreiben, wenn ich nicht sicher bin Lehrer
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