Spline-Interpolation

29.08.2010, 00:05

The talking drum

Spline-Interpolation

Guts Nabendele, Freunde der Mathematik.

Ich richte mich an dieses Board, da ich mit der Aufgabe einfach nicht weiterkomme.

Folgende Aufgabe:

Mithilfte einer teilweise definierten Funktion soll das Profil eines Schiffes dargestellt werden. Dann wurden einem halt bestimmte Koordinaten gegeben die man zur Lösung verwenden soll, etc. Es sind 5 Koordinaten gegeben.

Das erste Problem :
Man brauch 16 Koeffizienten, ich komme aber nur auf 15 Gleichungen.

Das zweite Problem:
Nachdem ich alles fein eingesetzt und ausgerechnet habe, ergibt sich aus den meisten Gleichungen, dass fast alle Variablen gleich sind?! Wie könnte ich das sinnvoll verwenden; und: kann das überhaupt richtig sein?

Am Schluss habe ich nämlich a1=a2=a3=a4 b1=b2=b3=b4 c1=c2=c3 und für zwei koeffizienten null.

Also ich wollte erstmal nur klären, wie man das mit den gleichen Variablen machen kann. Falls es nötig ist, kann ich auch die gesamte Aufgabe posten. Der Rechenweg ist allerdings ellenlang und ich hab keinen Scanner unglücklich

Vielen Dank für jede Hilfe.

29.08.2010, 00:09

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Willkommen

Gib mal bitte die Koordinaten an, die gegeben sind.

Welcher Spline soll es genau sein? [WS] Spline-Interpolation - Theorie

29.08.2010, 00:18

The talking drum

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Wow, das ist Hochschulmathematik? Ich bin Schüler eines Gymnasiums, 11. Klasse LK.
Unser Lehrer meinte, "das muss man mindestens einmal gemacht haben."
Der Workshop sieht echt gut aus, allerdings glaube ich, dass das noch ein bisschen zu hoch für mich ist Big Laugh

Es handelt sich um kubische Splines. Folgende Koordinaten

Der x-Achse wird die Breite in dm zugeteilt
Der y-Achse die Höhe in derselben Einheit

x 0 4 8 11 12
y 0 2 4 8 12

Meine Bedingungen sind dann die folgenden.

s1(0) = 0
s1''(0) = 0
s1(4) = 2
s1'(4) = s2'(4)
s1''(4) = s2''(4)

s4(12) = 12
s4''(12) 0
s2(4) = 2
s2(8) = 4
s3(8) = 4
s2'(8) = s3'(8)
s2''(8) = s3''(8)

s3(11) = 8
s4(11) = 8
s3'(11) = s4'(11)
s3''(11) = s4''(11)

puuuuuhhh Big Laugh

29.08.2010, 00:27

tigerbine

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Zitat:

Original von The talking drum
Wow, das ist Hochschulmathematik? Ich bin Schüler eines Gymnasiums, 11. Klasse LK.

Alles ist relativ. Bei uns ist das Thema der Numerik.

Zitat:

Es handelt sich um kubische Splines.

Welche Art von kubischem Spline? Ich vermute aus deinen Angaben natürlicher kubischer Spline.

Die Rechnungen sind lang und lästig. Big Laugh

Zitat:

Es wird ein kubischer Spline berechnet. Spezifizierung folgt.

Beachte: Der Datensatz hat die Form
Knoten: t_0 ,..., t_n
Funktionswerte: f(t_0),...,f(t_n)

Knotenpunkte eingeben: [0,4,8,11,12]
Funktionswerte eingeben: [0,2,4,8,12]

n =

4

------------------------------------------------------------------------------
Berechnung der Deltas dt_0,...,dt_n-1

dt =

4 4 3 1

Berechnung der Deltas df_0,...,df_n-1

df =

2 2 4 4

Berechnung der Brüche df0/dt0,...,df_n-1/dt_n-1

dfdt =

0.5000 0.5000 1.3333 4.0000

Berechnung der Betas b_1,...,b_n-1

b =

4 3 1

Berechnung der Alphas a_1,...,a_n-1 (vorläufig)

a =

16 14 8

Berechnung der Gammas c_1,...c_n-1

c =

4 4 3

Berechnung der rs r_1,...,r_n-1 (vorläufig)

r =

12.0000 20.5000 40.0000

------------------------------------------------------------------------------
Bitte wählen: 0 - natürlicher Spline
1 - vollst. Spline

Deine Wahl: 0
------------------------------------------------------------------------------

Berechnung der Alphas a_1,...,a_n-1 (nat. Spline)

a =

14.0000 14.0000 6.5000

Berechnung der rs r_1,...,r_n-1 (nat. Spline)

r =

9.0000 20.5000 22.0000

Aufstellen der Matrix M

M =

14.0000 4.0000 0
3.0000 14.0000 4.0000
0 1.0000 6.5000

Berechnung der Lösung s von Ms=r: s_1,...,s_n-1
0.5281 0.4018 3.3228

Der komplette Vektor s:

s =

0.4860 0.5281 0.4018 3.3228 4.3386

Matrix der Restriktionen in Newton-Darstellung

RN =

0 0.4860 0.0035 0.0009
2.0000 0.5281 -0.0070 -0.0044
4.0000 0.4018 0.3105 0.1175
8.0000 3.3228 0.6772 -0.3386

Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³

RM =

0 0.4860 -0.0000 0.0009
0.3368 0.2333 0.0632 -0.0044
-62.0912 23.6439 -2.8632 0.1175
545.0316 -141.9351 12.1895 -0.3386

Vergleichsfunktion eingeben? (0=ja, 1=nein) 1
Stellen auswerten? (0=ja, 1=nein)

[attach]15870[/attach]

29.08.2010, 00:34

The talking drum

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Genauso sieht die Funktion bei uns auf dem Zettel auch aus...

Allerdings werd ich nicht wirklich aus dem zitierten Kasten schlau ^^''

29.08.2010, 00:38

tigerbine

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Ich kenne eure Anleitung nicht. In dem Kasten stehen die Ergebnisse zu meiner Anleitung, wie man das berechnet. Vom Ergebnis sollte das Entscheidende sein

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:

Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³

RM =

0 0.4860 -0.0000 0.0009
0.3368 0.2333 0.0632 -0.0044
-62.0912 23.6439 -2.8632 0.1175
545.0316 -141.9351 12.1895 -0.3386

Zitat:

Man brauch 16 Koeffizienten, ich komme aber nur auf 15 Gleichungen.

Dann hast du wohl was übersehen. Die Informationen reichen aus. Check nochmal deine Liste.

Zitat:

Stetigkeits- und Glattheitsbedingungen

Es sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

$\begin{eqnarray*} \text{(4a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1. \quad S(t_j)=f_j \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad j = 0,1,2,...,n \qquad \quad \text{Interpolationsbedingung 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. \quad R_{j-1}(t_j) = R_j(t_j)=:u_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{Stetigkeit in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3. \quad R'_{j-1}(t_j) = R_j'(t_j)=:s_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{1x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4. \quad R''_{j-1}(t_j) = R_j''(t_j) \quad \qquad \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{2x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$
____________________________________________________

$\begin{eqnarray*} - \qquad \qquad 4n-2 \quad \text{Bedingungen} \end{eqnarray*}$

Da insgesamt 4n Freiheitsgrade vorhanden sind, müssen noch 2 Bedingungen hinzugefügt werden, um Eindeutigkeit zu erhalten.

Wahl der Eindeutigkeit

$\begin{eqnarray*} \text{(4b)} \end{eqnarray*}$

Natürlicher Spline

$\begin{eqnarray*} S''(t_0) = R_0''(t_0) = 0 \text{ und } S''(t_n) = R_{n-1}''(t_n) = 0 \end{eqnarray*}$

29.08.2010, 00:49

The talking drum

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Oh ja, stimmt, ich hab wirklich genug Bedingungen.

Bitte nicht übel nehmen, aber ich versteh die Anweisung leider kein Deut. unglücklich

Bei mir steht ich soll auf 16 Gleichungen kommen -somit 16 verschiedene Koeffizienten, 4 pro definiertem Abschnitt -, die mit dem GTR gelöst werden sollen. Dahinter ironischerweise Viel Spaß!

Aber deine(ihre) Matrix enthält doch nur 4 Koeffizienten?

29.08.2010, 01:09

tigerbine

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Die Theorie ist viel zu aufwändig für eine Samstag Nacht. Spass macht es auch nur, wenn man schon ein Programm hat, dass die Lösung berechnet.

Bei dir müssen wir uns wohl eine "Hand" Lösung einfallen lassen. Wird aber unschön, sag ich gleich.

4 Gleichungen brauchst du pro Abhscnitt, dennoch hängen die eben zusammen. Du kannst nicht einfach 4 Systeme in den TR eingeben und dann ausrechnen lassen.

s1(0) = 0
s1''(0) = 0
s1(4) = 2
s1'(4) = s2'(4)
s1''(4) = s2''(4)

s2(4) = 2
s2(8) = 4
s3(8) = 4
s2'(8) = s3'(8)
s2''(8) =s3''(8)

s3(11) = 8
s3'(11) = s4'(11)
s3''(11) = s4''(11)

s4(11) = 8
s4(12) = 12
s4''(12) 0

Das sind doch 16 Bedingungen. Meine Matrix musst du Zeilenweise Lesen. In jeder Zeile stehen 4 Koeffizienten.

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