Konvergenzbeweis

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frik Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzbeweis
Hi Leute,
bräuchte ma Hilfe bei der Aufgabe hier

[attach]15898[/attach]

Um die Konvergenz zu beweisen, muss ich ja zeigen, dass die Folge monoton wächst/fällt und beschränkt ist.

Wie geh ich da bei einer rekursiv definierten Folge ran ?

Hab angefangen indem ich a(n+1) - a(n) gerechnet hab um halt den Abstand zweier Folgeglieder zu berechnen und zu gucken, ob die Folge monoton wächst oder fällt, aber irgendwie komm ich danach nicht ganz weiter, was dann?

Würde mich über Hilfe freuen Augenzwinkern
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzbeweis
Zunächst kannst Du



per Induktion beweisen.

Beachte dabei, dass sich sich aus der offensichtlichen Ungleichung

eine nützliche Ungleichung herleiten lässt.


Für den Beweis der Monotonie betrachte dann



und nutze die zuvor gezeigte Beschränktheit aus.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzbeweis
Kleine Korrektur:
Zitat:
Original von Kühlkiste
Beachte dabei, dass sich sich aus der offensichtlichen Ungleichung

eine nützliche Ungleichung herleiten lässt.
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Hm krieg da immer was anderes raus bei der Induktion

Hab erstmal für n=0 gezeigt das es wahr ist.

Dann gilt also xn <= 1 und somit sollte es auch für x(n+1) gelten

also hab ich x(n+1) <= 1, anschließend subtrahiere ich die 1 auf die linke seite und wende die Induktionsvoraussetzung an.
Wo ist der Fehler ?
Komme am Ende auf 2xn² + 2xn + 4 >= 0
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für Doppelpost, kann nicht mehr ändern!

Hm krieg da immer was anderes raus bei der Induktion

Hab erstmal für n=0 gezeigt das es wahr ist.

Dann gilt also xn <= 1 und somit sollte es auch für x(n+1) gelten

also hab ich x(n+1) <= 1, anschließend subtrahiere ich die 1 auf die linke seite und wende die Induktionsvoraussetzung an.
Also hab ich dann stehen:

x(n+1) - 1 <= x(n+1) - x(n)

Wenn ich die Induktionsvoraussetzung nicht einfließen lasse komme ich auch auf deine binomische Formel, aber ich muss doch xn<=1 beim Induktionsbeweis verwenden.

Wo ist der Fehler ?
Komme am Ende auf 2xn² + 2xn + 4 >= 0
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte eigentlich an folgendes gedacht:

 
 
frik Auf diesen Beitrag antworten »

Woher nimmst du die (x(n) -1) ² ?
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist Deine Frage nicht ganz klar verwirrt - aber ich versuch's trotzdem mal...


Für jedes gilt: . Das sollte klar sein.

Also gilt insbesondere: und zwar für alle .

Und wie oben schon gezeigt bietet dieser Ausdruck den Vorteil sich hinsichtlich der Aufgabenstellung gewinnbringend nutzen zu lassen.
frik Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, also kann ich daraus schon mal schlussfolgern, dass

x(n)² -3 / 2x(n) - 4 >= 1 für alle n aus N

also gilt ja sogesehen

x(n+1) >= 1 >= x(n), folglich ist die Folge monoton steigend

und weiter ?
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Induktionsvoraussetzung ist doch .

Und damit gilt dann auch:




Was passiert nun aber beim Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl?
frik Auf diesen Beitrag antworten »

das Ungleichungszeichen wird umgedreht

Alles klar den Induktionsbeweis hab ich jetzt nachvollzogen, alles klar. Wie erhalte ich nu den Grenzwert ?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Folge konvergent ist, dann gibt es einen Grenzwert g mit . Wende das auf die Rekursionsformel an.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Da kommt mir eine nette Frage auf:
Sei eine Folge, die auch rekursiv definiert ist und ebenfalls beschränkt ist, aber nicht konvergiert (also mindestens zwei Häufungspunkte hat). Kann die Gleichung dann dennoch eine eindeutige Lösung haben, die zwischen zwei Werten liegt, die die Folge irgendwann einmal annimmt?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, hab schon eine gefunden:


Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Da kommt mir eine nette Frage auf:
Sei eine Folge, die auch rekursiv definiert ist und ebenfalls beschränkt ist, aber nicht konvergiert (also mindestens zwei Häufungspunkte hat). Kann die Gleichung dann dennoch eine eindeutige Lösung haben, die zwischen zwei Werten liegt, die die Folge irgendwann einmal annimmt?


Ich verstehe Deine Frage nicht... verwirrt

Was soll denn die "eindeutige Lösung" einer Rekursionsformel sein?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kühlkiste

Ich verstehe Deine Frage nicht... verwirrt

Was soll denn die "eindeutige Lösung" einer Rekursionsformel sein?


Die Gleichung soll eine eindeutige Lösung haben.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Jede konstante Folge genügt dieser Rekursionsformel.
Allerdings ist jede konstante Folge trivialerweise konvergent.

Und aus diesem Grund habe ich die Sinnhaftigkeit Deiner Fragestellung bezweifelt.
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kühlkiste
Jede konstante Folge genügt dieser Rekursionsformel.
Allerdings ist jede konstante Folge trivialerweise konvergent.

Und aus diesem Grund habe ich die Sinnhaftigkeit Deiner Fragestellung bezweifelt.


Naja, bei den meisten Fragestellungen dieser Art (also die, die hier ursprünglich im Artikel gestellt wurde) verfährt man letztendlich so, dass man die Lösung dieser Gleichung bestimmt, und das in das der Grenzwert. In dem Fall der ursprünglichen Folge wäre das dann zum Beispiel die 1. Meine Frage war nun, ob das so sein muss, und wie mein Beispiel zeigt, muss das nicht so sein.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Sei eine Folge, die auch rekursiv definiert ist und ebenfalls beschränkt ist, aber nicht konvergiert


Wieviel Sinn hat es denn den Grenzwert einer nicht konvergenten Folge zu berechnen?

Das ersetzen von and in der Rekursionsformel durch (welches dann zu einer Gleichung in führt) macht doch nur dann Sinn wenn dieser Grenzwert auch tatsächlich existiert und die Folge somit konvergent ist.
Ist Dir nun klar wieso die Fragestellung so wie Du sie formuliert hast nicht sinnvoll war?
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kühlkiste
Ist Dir nun klar wieso die Fragestellung so wie Du sie formuliert hast nicht sinnvoll war?


Nein, sie war durchaus sinnvoll, denn wenn die Gleichung genau dann eine Lösung gehabt hätte, wenn die Folge konvergiert, hätte man das als Test bezüglich der Konvergenz verwenden können.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathinitus
Nein, sie war durchaus sinnvoll, ...


Na wenn Du meinst... Wink
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