Konvergenzbeweis |
01.09.2010, 16:03 | frik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Konvergenzbeweis bräuchte ma Hilfe bei der Aufgabe hier [attach]15898[/attach] Um die Konvergenz zu beweisen, muss ich ja zeigen, dass die Folge monoton wächst/fällt und beschränkt ist. Wie geh ich da bei einer rekursiv definierten Folge ran ? Hab angefangen indem ich a(n+1) - a(n) gerechnet hab um halt den Abstand zweier Folgeglieder zu berechnen und zu gucken, ob die Folge monoton wächst oder fällt, aber irgendwie komm ich danach nicht ganz weiter, was dann? Würde mich über Hilfe freuen |
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01.09.2010, 17:32 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenzbeweis Zunächst kannst Du per Induktion beweisen. Beachte dabei, dass sich sich aus der offensichtlichen Ungleichung eine nützliche Ungleichung herleiten lässt. Für den Beweis der Monotonie betrachte dann und nutze die zuvor gezeigte Beschränktheit aus. |
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01.09.2010, 17:38 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Konvergenzbeweis Kleine Korrektur:
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01.09.2010, 18:20 | frik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm krieg da immer was anderes raus bei der Induktion Hab erstmal für n=0 gezeigt das es wahr ist. Dann gilt also xn <= 1 und somit sollte es auch für x(n+1) gelten also hab ich x(n+1) <= 1, anschließend subtrahiere ich die 1 auf die linke seite und wende die Induktionsvoraussetzung an. Wo ist der Fehler ? Komme am Ende auf 2xn² + 2xn + 4 >= 0 |
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01.09.2010, 18:36 | frik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry für Doppelpost, kann nicht mehr ändern! Hm krieg da immer was anderes raus bei der Induktion Hab erstmal für n=0 gezeigt das es wahr ist. Dann gilt also xn <= 1 und somit sollte es auch für x(n+1) gelten also hab ich x(n+1) <= 1, anschließend subtrahiere ich die 1 auf die linke seite und wende die Induktionsvoraussetzung an. Also hab ich dann stehen: x(n+1) - 1 <= x(n+1) - x(n) Wenn ich die Induktionsvoraussetzung nicht einfließen lasse komme ich auch auf deine binomische Formel, aber ich muss doch xn<=1 beim Induktionsbeweis verwenden. Wo ist der Fehler ? Komme am Ende auf 2xn² + 2xn + 4 >= 0 |
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01.09.2010, 19:33 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hatte eigentlich an folgendes gedacht: |
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01.09.2010, 19:37 | frik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Woher nimmst du die (x(n) -1) ² ? |
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01.09.2010, 19:58 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir ist Deine Frage nicht ganz klar - aber ich versuch's trotzdem mal... Für jedes gilt: . Das sollte klar sein. Also gilt insbesondere: und zwar für alle . Und wie oben schon gezeigt bietet dieser Ausdruck den Vorteil sich hinsichtlich der Aufgabenstellung gewinnbringend nutzen zu lassen. |
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01.09.2010, 20:08 | frik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
alles klar, also kann ich daraus schon mal schlussfolgern, dass x(n)² -3 / 2x(n) - 4 >= 1 für alle n aus N also gilt ja sogesehen x(n+1) >= 1 >= x(n), folglich ist die Folge monoton steigend und weiter ? |
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01.09.2010, 20:21 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Laut Induktionsvoraussetzung ist doch . Und damit gilt dann auch: Was passiert nun aber beim Multiplizieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl? |
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01.09.2010, 20:27 | frik | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das Ungleichungszeichen wird umgedreht Alles klar den Induktionsbeweis hab ich jetzt nachvollzogen, alles klar. Wie erhalte ich nu den Grenzwert ? |
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02.09.2010, 08:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn die Folge konvergent ist, dann gibt es einen Grenzwert g mit . Wende das auf die Rekursionsformel an. |
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02.09.2010, 09:48 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da kommt mir eine nette Frage auf: Sei eine Folge, die auch rekursiv definiert ist und ebenfalls beschränkt ist, aber nicht konvergiert (also mindestens zwei Häufungspunkte hat). Kann die Gleichung dann dennoch eine eindeutige Lösung haben, die zwischen zwei Werten liegt, die die Folge irgendwann einmal annimmt? |
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02.09.2010, 09:56 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, hab schon eine gefunden: |
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02.09.2010, 10:03 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe Deine Frage nicht... Was soll denn die "eindeutige Lösung" einer Rekursionsformel sein? |
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02.09.2010, 10:36 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Gleichung soll eine eindeutige Lösung haben. |
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02.09.2010, 10:46 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jede konstante Folge genügt dieser Rekursionsformel. Allerdings ist jede konstante Folge trivialerweise konvergent. Und aus diesem Grund habe ich die Sinnhaftigkeit Deiner Fragestellung bezweifelt. |
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02.09.2010, 10:54 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, bei den meisten Fragestellungen dieser Art (also die, die hier ursprünglich im Artikel gestellt wurde) verfährt man letztendlich so, dass man die Lösung dieser Gleichung bestimmt, und das in das der Grenzwert. In dem Fall der ursprünglichen Folge wäre das dann zum Beispiel die 1. Meine Frage war nun, ob das so sein muss, und wie mein Beispiel zeigt, muss das nicht so sein. |
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02.09.2010, 11:03 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieviel Sinn hat es denn den Grenzwert einer nicht konvergenten Folge zu berechnen? Das ersetzen von and in der Rekursionsformel durch (welches dann zu einer Gleichung in führt) macht doch nur dann Sinn wenn dieser Grenzwert auch tatsächlich existiert und die Folge somit konvergent ist. Ist Dir nun klar wieso die Fragestellung so wie Du sie formuliert hast nicht sinnvoll war? |
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02.09.2010, 12:17 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, sie war durchaus sinnvoll, denn wenn die Gleichung genau dann eine Lösung gehabt hätte, wenn die Folge konvergiert, hätte man das als Test bezüglich der Konvergenz verwenden können. |
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02.09.2010, 12:30 | Kühlkiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na wenn Du meinst... |
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