Aufgaben zu Konvergenz

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Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zu Konvergenz
Hi,

bin gerade dabei mich auf meine letzte klausur vorzubereiten und bin da auf ein paar Probleme und Unsicherheiten gestoßen

1) Man berechne den Grenzwert

nach anwenden der Regel von l'hospital krieg ich dann
Dann hab ich ne Fallunterscheidung gemacht
a) alpha=1 => GW=0
b) alpha>1 => GW=0
c) 0<alpha <1 hier is mein Problem: ich müsste nochmal hospital anwenden und wieder unterscheiden und immer so weiter.
Was kann man da machen???


2) Zeigen sie: Das uneigentliche Integral ist für alpha >1 konvergent. Was ist sein Wert.



Zur Betrachtung lass ich dann b gegen unendlich laufen

Auch hier hab ich dann dass Problem mit der Fallunterscheidung Hammer . Geht das wirklich so oder brauch ich nen anderen Ansatz?



3) Beweisen sie durch Substitution


Hab da rumprobiert, aber gar nix rausgekriegt. Kann mir vllt jemand nen Tipp geben was ich da wie substitutieren kann?

Schon mal vielen Dank für eure Hilfe
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgaben zu Konvergenz
Zitat:
Original von Huggybeer
1) Man berechne den Grenzwert

nach anwenden der Regel von l'hospital krieg ich dann

Kürze hier erst noch vernünftig. Und dann schau nochmal auf den Grenzwert.

Zitat:
Original von Huggybeer
2) Zeigen sie: Das uneigentliche Integral ist für alpha >1 konvergent. Was ist sein Wert.


Zur Betrachtung lass ich dann b gegen unendlich laufen

Unterscheide eben, was ergibt sich für den Grenzwert, wenn ist? Was passiert, wenn ist?

Zitat:
Original von Huggybeer
3) Beweisen sie durch Substitution


Hab da rumprobiert, aber gar nix rausgekriegt. Kann mir vllt jemand nen Tipp geben was ich da wie substitutieren kann?

Naheliegenderweise substituierst du hier . Augenzwinkern
Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »

also erstma danke für die schnelle hilfe.

zu 1):
für x gegen unendlich geht die funktion dann gegen 0


zu 2):

für alpha <1 und b gegen unendlich divergiert die folge
für alpha >1 und b gegen unendlich konvergiert die folge gegen

soweit richtig oder irgendwo ein fehler?

zu 3) denk des krieg ich hin, bin nur noch nich so fit im substituieren

gruß
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggybeer
zu 1):
für x gegen unendlich geht die funktion dann gegen 0

Einverstanden.

Zitat:
Original von Huggybeer
zu 2):

für alpha <1 und b gegen unendlich divergiert die folge
für alpha >1 und b gegen unendlich konvergiert die folge gegen

Vorsicht! Für konvergiert das Ganze gegen . Denn du rechnest ja MINUS der oberen Grenze. Und das ist ja auch schlüssig, denn für wird der Nenner dieses Bruches negativ und damit eben auch der gesamte Bruch. Dann hast du wieder ein positives Ergebnis, weil minus mal minus ja wieder plus ergibt.

Ansonsten noch darauf achten, sauber aufzuschreiben. Da stehen jetzt einige Gleichheitszeichen, die eigentlich keine sind. Beispiel: Du hast geschrieben:

Zitat:


Das stimmt natürlich nicht, sondern allenfalls:



Ist jetzt nur ein formaler Einwand, inhaltlich stimmt jetzt soweit alles.

Zitat:
Original von Huggybeer
zu 3) denk des krieg ich hin, bin nur noch nich so fit im substituieren

Versuch's mal. So schwer ist das eigentlich nicht. Und wenn's nicht klappen sollte, kannst du dich ja nochmal melden.
Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »

danke fürs feedback. das Minus hat ich vergessen einzutippen, auf meim schmierzettel stehts drauf...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggybeer
das Minus hat ich vergessen einzutippen, auf meim schmierzettel stehts drauf...

Dann ist es ja gut. Natürlich kann man für der Einfachheit halber auch schreiben:



Dann kann man sich das Minus gleich ganz sparen. Ist aber nur Kosmetik. Augenzwinkern
 
 
Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »

So, da bin ich wieder. Hab noch 2 Aufgaben gefunden mit denen ich nich klarkomm:
1) konvergent?
Zuerst wollt ich Leibnitz anwenden, aber is ja nich monoton. Kann mir da jemand vllt. nen Tipp geben mit welchen Kriterium ich da rangehen soll (hab eigenlich alle durchprobiert, aber dann halt wahrscheinlich schlecht abgeschätzt)


2) Wie zeige ich mathematisch schön aufgeschrieben, dass die Funktion für bzw. für x=0 unstetig bei 0 ist.

Normalerweise mach ichs immer mit . Hier existiert der Grenzwert aber nicht. Ich bin mir jetzt nich sicher ob das einfach so schreiben kann, oder ob ich da mit dem epsilon-delta-Kriterium arbeiten muss weil ich ja weiss: es gibt stetige Funktionen, die nicht differenzierbar sind.


Danke danke danke
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggybeer
1) konvergent?
Zuerst wollt ich Leibnitz anwenden, aber is ja nich monoton.

Erstmal meinst du wohl .

Desweiteren ist durchaus monoton, zumindest ab k>=3.

Für die Konvergenz von Reihen gibt es ein notwendiges Kriterium. Du solltest mal schauen, ob das hier erfüllt ist.

Zitat:
Original von Huggybeer
2) Wie zeige ich mathematisch schön aufgeschrieben, dass die Funktion für bzw. für x=0 unstetig bei 0 ist.

Finde eine Nullfolge a_n, für die ist.
Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, naja bei 1) hab ich wie gesagt mal versucht Majoranten, Wurzel und Quotientenkriterium anzuwenden. das einzige was einigermaßen brauchbar war, ich mir aber nich sicher bin ist das Wurzelkriterium:

Der Exponent geht dann gegen 0 und das Ganze geht dann gegen

Hab grad gemerkt, dass ich mit dem Betrag erbeiten muss. Betrag von -1=1 also dann divergent

deinen Tip zu 2) versteh ich nicht. Ne NF mit gibt es ja nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggybeer
Hm, naja bei 1) hab ich wie gesagt mal versucht Majoranten, Wurzel und Quotientenkriterium anzuwenden.

Bevor du mit irgendwelchen Kriterien rumrechnest, solltest du meinen Tipp beherzigen und mal schauen, ob das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz erfüllt ist.

Zitat:
Original von Huggybeer
deinen Tip zu 2) versteh ich nicht. Ne NF mit gibt es ja nicht.

So? Da bin ich aber anderer Ansicht.

Übrigens scheint mir das keine Schulmathe zu sein.
Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »

Ow ja, ist natürlich keine Schulmathe, sorry hab nicht genau hingeschaut und einfach Analysis angeklickt.


zu 1) Da steh ich grad aufm Schlauch. Ich hab bisher immer mit Majoranten, Minoranten, Wurzel, Quotienten und Leibnitzkriterium die Konvergenz von Reihen untersucht. Stimmt die Rechnung mit dem Wurzelkriterium also nicht?


Zur Nullfolge: Eine Nullfolge ist doch so definiert:


Der Grenzwert einer Nullfolge ist also 0.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggybeer
Ich hab bisher immer mit Majoranten, Minoranten, Wurzel, Quotienten und Leibnitzkriterium die Konvergenz von Reihen untersucht.

Es geht mir nicht um ein hinreichendes Kriterium, sondern um ein notwendiges Kriterium, das erfüllt sein muß, bevor man sich über Konvergenz Gedanken machen sollte. Welches Verhalten müssen die Summanden einer Reihe aufweisen?

Zitat:
Original von Huggybeer
Stimmt die Rechnung mit dem Wurzelkriterium also nicht?

Wenn man von der (unnötigen) Behandlung von (-1)^n absieht, ist die Rechnung ok.

Zitat:
Original von Huggybeer
Der Grenzwert einer Nullfolge ist also 0.

Ja, das ist klar. Jetzt geht es darum, eine Nullfolge a_n zu finden, so daß f(a_n) nicht gegen Null konvergiert.
Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »

achso, das notwendige Kriterium (das ich schon ewig nicht mehr benutzt hab) lautet:
Konvergiert , so ist
da also für n gegen unendlich gegen 1 und nicht gegen 0 geht, ist die Reihe auch nicht konvergent. (Kommt mir ungewohnt vor und ich fühl mich mit dem Wurzelkriterium sicherer)



zu 2) sei und f(x)=sinx
=>
der Limes von f(a_n) existiert nicht, ist also nicht Null. Aber das war ja meine Ursprüngliche Frage, ob das als Begründung für die Unstetigkeit ausreicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggybeer
(Kommt mir ungewohnt vor und ich fühl mich mit dem Wurzelkriterium sicherer)

Die Argumentation ist aber richtig.

Zitat:
Original von Huggybeer
f(x)=sinx

Oben hat aber was anderes gestanden. Außerdem gibt es eine Nullfolge, wo f(a_n) konvergiert, aber eben nicht gegen Null.
Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »

sei und wieder
=>

aber was bringt mir diese Funktion jetzt?

Bis hierher schon mal vielen Dank für deine Hilfe...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, wieso du mit der e-Funktion ankommst. verwirrt Es geht doch um mit f(0) := 0 und um den Nachweis, daß diese Funktion nicht in x=0 stetig ist.

Nun holen wir mal kurz aus und fragen uns, wann eine Funktion in x_0 stetig ist. Da gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine ist zu zeigen, daß für jede Folge a_n mit gilt, daß ist.

Umgekehrt ist eine Funktion in x_0 nicht stetig, wenn es eine Folge a_n mit gibt, für die ist. Und jetzt gilt es eben, solch eine Folge zu finden.
Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der e-Funktion war nur weil du halt ne Nullfolge a_n haben wolltest wobei für . Hab auch nich gewusst warum du sowas haben willst, aber ich hab dir halt mal eine gebastelt Big Laugh


Tut mir leid wenns für dich vielleicht langsam ein bisschen nervig wird, aber das hilft mir nich weiter. Warum soll ich eine Funktion suchen, ich hab doch eine fest vorgegeben für die ich die Unstetigkeit zeigen will. Mit der Definition die du hier für Stetigkeit aufgeführt komm ich halt nich weiter weil eben nicht existiert. f(0)=0 ist vorgeben
also

Aber das is ja meine ursprüngliche Frage ob das in Ordnung is, und da wir hier nun schon länger rumposten geh ich davon aus, dass es eben nicht ok ist.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggybeer
Warum soll ich eine Funktion suchen, ich hab doch eine fest vorgegeben für die ich die Unstetigkeit zeigen will.

Ich glaube, du liest meine Beiträge nicht. Ich habe nicht gesagt, daß du eine Funktion suchen sollst, sondern eine Nullfolge, die so gebastelt ist, daß
existiert und nicht Null ist.

Prinzipiell könnte man auch die Nullfolge a_n = 1/n nehmen. Mit der hast du dann aber Unfug gerechnet und obendrein hat sie den ästhetischen Nachteil, daß nicht existiert.
Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. Jetzt hab ich zwar verstanden was du meinst. Aber ich komm ums verrecken nicht drauf wie ich das machen soll. Das einzige was mir jetzt noch eingefallen ist:


Das bringt mir aber auch nix. Mein Problem oder Denkfehler liegt darin, dass mit a_n Nullfolge = .
(Ich weiss, dass is nich sonderlich schön aufgeschreiben, aber du weisst ja was ich mein)

Da häng ich einfach fest und komm weder vorwärts noch rückwärts. Wahrscheinlich isses für außenstehende offensichtlich und wenn ich die Lösung seh denk ich auch wieder: oh gott wie einfach, aber so isses ja eigentlich immer...
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