Aufgabe mit Kern und Bild

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Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe mit Kern und Bild
Hallooo

ich habe gerade die Definition von Kern und Bild vor der Nase und meine es so verstanden zu haben.
Es gibt eine Abbildungsvorschrift L aus dem Vektorraum V ind den Vektorraum W. Nun ist das Bild alles das, was man durch L in W erreichen kann. Der Kern ist ein Teil von V der durch L auf 0 im Bild abgebildet werden kann.

So, nun habe ich eine Aufgabe und versteh die Welt nicht mehr:

Zitat:

Wählen Sie die Vektoren so, dass linear unabhängig sind.
Dabei ist
und folgender Vektor im Kern von ist:


So nun weiß ich ja, dass Elemente des Kern über die Abbildungsvorschrift auf den Nullvektor abbilden. Aber:


Damit kann doch schon mal gar nicht im Kern sein. traurig

Wer kann mir das mal einfach erklären?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh die Aufgabe nicht so ganz...du sollst linear unabhängige Vektoren wählen und das Bild von denen berechnen, aber warum hast du einen (falschen) Vektor aus dem Kern dafür angegeben? Ist das so wirklich der Wortlaut der Aufgabe oder gibt es noch weitere Informationen?
 
 
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Wortlaut stimmte, aber ich habe mal nachgefragt und das A soll wohl nicht zur Aufgabe gehören, meint mein Kommilitone. Das sei falsch (die Aufgabe ist aus einem anderen Semester aber mein Kommilitone kennt die Lösung auch nicht)
Das A soll ermittelt werden...

Trotzdem habe ich keinen richtigen Ansatz.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet denn nun die Aufgabe richtig? Weder A noch der gegebene Vektor sind mMn nach relevant für die Aufgabenstellung.
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe mit Kern und Bild
Zitat:

Wählen Sie die Vektoren so, dass linear unabhängig sind und folgender Vektor im Kern von ist:


Das wäre dann jetzt der richtige Wortlaut.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Und A ist nicht vorgegeben?

Ok, dann solltest du 2 beliebige, linear unabhängige Vektoren wählen können und eine geeignet Matrix aufstellen mit .
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mal durchprobiert und was gefunden:



aber gibt es noch einen pro-baten Lösungsweg alternativ zum Raten?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dieser Aufgabe ohne weitere Angabe ist das eine mögliche Lösung. Ich würde es auch weniger raten nennen, eher "geschickt konstruieren".
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Hinweis:

Es soll sein. Es ist nicht ganz ungeschickt, sich vor Augen zu halten, dass schlicht und ergreifend die erste Spalte der Matrix liefert.

Damit weiß man mit als Bedingung nämlich sofort, dass die erste Spalte von A aus Nullen bestehen muss.

air
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab das letztlich auch so gemacht. Also mit Hilfe der Theoreme.
Aber in der Prüfung kann ich doch schwerlich so viel Zeit darein investieren, zumal die Aufgaben dann auch bestimmt schwerer sind...

Gibt es denn nicht ein passendes "Kochrezept" für dafür?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas Philosophie:

Wenn man für alles nur Kochrezepte lernt, so ist man bei den kleinsten Veränderungen der Aufgabenstellung aufgeschmissen. Zudem ist man mit der Menge an Algorithmen völlig überfordert und hätte genauso gut die Theorie lernen können und wäre damit flexibler.

Edit: Und mit Mathematik hätte das dann auch wesentlich weniger zu tun. Augenzwinkern

air
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »

smile - Ok - dann belassen wir es dabei - obwohl die Theorie schon ziemlich schwer ist (für mich zumindest)

Abschließend noch eine Frage zu einer Anderen Aufgabe:

geg:




ges:




Lösung:
Durch die Bilder linear unabhängiger Vektoren ist L eindeutig:

Lineare Abhängigkeit über Gauß ermitteln:

damit kann man also schreiben:

da L linear ist:

und das soll laut Aufgabe das Gleiche sein wie:


Und woher weiß ich jetzt die Dimension?

Laut Dimensionssatz ist dim(L)=dim(Bild(L)+dim(Kern(L)), aber ich kenne auch dim(L) nicht :-(
Ich rate mal dim(L)=2 da ich den Raum über zwei Einheitsvektoren aufspannen kann ...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alex44
Und woher weiß ich jetzt die Dimension?

Überlege dir, mit welchen linear unabhängigen Vektoren du alle Vektoren der Form erzeugen kannst.

Zitat:
Original von Alex44
Laut Dimensionssatz ist dim(L)=dim(Bild(L)+dim(Kern(L)), aber ich kenne auch dim(L) nicht :-(

Schau da nochmal in deinen Unterlagen nach. Vermutlich steht da eher, daß dim(V) = dim(Bild(L)) + dim(Kern(L)) ist für eine lineare Abbildung
L: V --> W. Und jetzt überlege dir, was hier V ist und welche Dimension es hat.
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »

Na so gesehen ist V der und kann daher maximal 2 Dimensionen haben. Eine Basis von V wäre:

oder ganz einfach:

Das sprich dann für dim(V)=2

Den Kern könnte man so auseinander nehmen:

Damit haben wir nur eine Veränderliche und die Dimension ist dim(Kern(L))=1 ?!?

Wenn da jetzt stünde:

wäre das dann dim(Kern(L))=2
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alex44
Das sprich dann für dim(V)=2

Richtig.

Zitat:
Original von Alex44
Den Kern könnte man so auseinander nehmen:

Damit haben wir nur eine Veränderliche und die Dimension ist dim(Kern(L))=1 ?!?

Achtung, es handelt sich da um Bildvektoren und demzufolge nicht um den Kern. Wink

Zitat:
Original von Alex44
Wenn da jetzt stünde:

wäre das dann dim(Kern(L))=2

Ja, wenn du dim(Im(L)) = 2 geschrieben hättest.
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was wäre dann mein Kern - Wie würde der dann aussehen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da solltest du mal schauen, welche Vektoren aus dem R² auf den Nullvektor im R³ abgebildet werden.
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »

Da fällt mir durch raten nur
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da muß man gar nicht groß raten. Du hast ja rausgefunden, daß ist. Was muß nun gelten, damit das der Nullvektor ist? Das führt zwangsläufig zu deinem Ergebnis.
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »

Na eigentlich muss a=0 sein. b ist ja egal
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, und das entspricht deiner "geratenen" Lösung.
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »

und das schreibt man dann so?:


oder besser so:


klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde oder noch einfacher bevorzugen.

Die Dimension ist richtig.
Alex44 Auf diesen Beitrag antworten »

prima - danke Dir für die geduldige Hilfe smile

Wink
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