|| <-- Doppelbetrag???

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Tobi88 Auf diesen Beitrag antworten »
|| <-- Doppelbetrag???
Meine Frage:
Hi,

ich versuche gerade diese http://www.mathe.tu-freiberg.de/~queck/lehre/ing/nm10/lsg/Blatt6_afg6.pdf Aufgabe zu rechnen.

Darin kommen dauern diese Doppelstriche ich nenne Sie mal Doppelbetrag vor. Was bedeuten diese Striche???



Meine Ideen:
Bitte schaut mal in die Aufgabe bei a) da steht eine Ungleichung

||A^-1(b-Ax~)||<=||A^-1||||b-Ax~|| <-- kann damit nichts anfangen da ich nicht weiß was die Striche bedeuten.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine so genannte Norm - die Verallgemeinerung des Betrags.

air
 
 
Tobi88 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke mit dem Wort Norm konnte mir Wiki helfen ...
bin jetzt über http://de.wikipedia.org/wiki/Normierter_Raum

zu http://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung

Ist es möglich die Dreiecksungleichung die ja meinem Beispiel sehr nahe kommt in Worte zu fassen...

das ||x+y|| <=||x||+||y|| ist ist mir allerdings immer noch unklar
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dreiecksungleichung ist doch schön anschaulich, auch auf wikipedia erklärt. Jedenfalls für die "normale" Norm. Bei anderen Normen ist es eben analog. Und die Dreiecksungleichung wird von jeder Norm per Definition erfüllt.

air
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Leider steht in der Aufgabe nicht, um welche Norm es sich handelt. Ich vermute, daß es die Euklidische Norm ist.

Bei der betreffenden Stelle wird die Ungleichung



verwendet, wo eine quadratische Matrix und ein passender Spaltenvektor ist. Sie folgt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Zunächst ist bzw. nach Definition nichts anderes als die Wurzel aus der Quadratsumme der Koordinaten von bzw. der Matrixelemente von . Sind die zu Spalten transponierten Zeilenvektoren von , so gilt



worin die spitzen Klammern das Standardskalarprodukt bezeichnen sollen. Jetzt gehen wir zur Norm über und finden:



Beim Ungleichheitszeichen wurden die Monotonie der Wurzelfunktion und für jeden Summanden die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung verwendet.
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