Polynomringe

02.09.2010, 16:39	bvs	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomringe Hallo, ich komme nicht weiter, wenn ich versuche die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb Z /2 [X] / (X^2+X+1) \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Ich verstehe die Schreibweise nicht wirklich. Kann mir vielleicht jemand helfen dabei, dieses Problem zu lösen, oder allgemein die Elemente solcher Darstellungen anzugeben? freundliche grüße
02.09.2010, 17:02	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynomringe Was genau ist denn klar und was nicht? Also, $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 2 \end{eqnarray}$ (ich finde die Schreibweise $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray}$ schöner, aber nun gut) ist ja der Restklassenkörper modulo 2, also der Körper, der nur die 0 und die 1 enthält. Der Ausdruck $\begin{eqnarray} R[X] \end{eqnarray}$ bezeichnet einen Polynomring, also die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus einem Ring $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ (und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist eben die Variable). In diesem Fall ist der Ring $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ sogar ein Körper und einfach, wie gesagt, der Restklassenkörper modulo 2. Das heißt, gemeint ist mit $\begin{eqnarray} \mathbb Z/2 [X] \end{eqnarray}$ die Menge aller Polynome, die nur die Koeffizienten 0 und 1 haben. Und mit $\begin{eqnarray} \mathbb Z /2 [X] / (X^2+X+1) \end{eqnarray}$ ist hier eben wieder der Restklassenring gemeint, das heißt, die Menge aller Reste (die dann natürlich auch wieder Polynome sind), die bei Division eines Polynoms aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z /2 [X] \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} (X^2+X+1) \end{eqnarray}$ entstehen können. Allzu viele sind das natürlich nicht, insbesondere könntest du ja erstmal sagen, von welchem Grad so ein Polynom höchstens sein kann, wenn es in $\begin{eqnarray} \mathbb Z /2 [X] / (X^2+X+1) \end{eqnarray}$ liegen soll. Dann ist die Aufgabe schnell erledigt.
02.09.2010, 19:49	bvs	Auf diesen Beitrag antworten »
hey mulder, danke, dass du dir die mühe machst zu antworten, ich denke es ist ein bisschen klarer, ich verstehe das so: zuerst überlege ich mir ohne betrachten von X^2+X+1, welche polynome in frage kommen, da wir modulo 2 rechnen, nehmen wir ein polynom 2. grades (?) un dann alles möglichkeiten davon, wenn ich anschließend bei aX+b für a und b die zahlen 0 und 1 zur verfügung habe => 1. X^2 + X + 1 2. X^2 + 1 3. X^2 + X 4. X^2 danach mache ich polynomdivision mit X^2+X+1 dann erhalte ich zum beispiel für den zweiten Fall: $\begin{eqnarray} 1- \frac{x}{x^2+x+1} \end{eqnarray}$ was mache ich dann mit der 1 vorne dran, nehme ich nur das X? oder kann ich die 1 einfach vernachlässigen? vielen dank bvs
02.09.2010, 20:11	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal: Was bei einer Division der Rest ist, das sollte man wissen. Ansonsten: Wikipedia: Division mit Rest. Ansonsten gibt es da aber noch einige Unklarheiten. Dass wir modulo 2 rechnen, hat nichts damit zu tun, welchen Grad die Polynome haben können. Das sagt nur etwas über die Koeffizienten der Polynome aus. So ist zum Beispiel auch $\begin{eqnarray} X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1 \, \, \in \, \mathbb Z / 2 [X] \end{eqnarray}$ Aber nehmen wir uns mal ein Polynom $\begin{eqnarray} f(X) \in \mathbb Z /2 [X] \end{eqnarray}$ Eine Division mit Rest ist in $\begin{eqnarray} \mathbb Z /2 [X] \end{eqnarray}$ vorhanden (warum?). Für die Division mit Rest muss es dann ja auch zwei Polynome $\begin{eqnarray} h(X),r(X)\in \mathbb Z /2 [X] \end{eqnarray}$ geben, so dass $\begin{eqnarray} f(X) : (X^2+X+1) = h(X) + \frac{r(X)}{X^2+X+1} \end{eqnarray}$ ist. Hierbei ist $\begin{eqnarray} r(X) \end{eqnarray}$ der Rest. Wie das $\begin{eqnarray} h(X) \end{eqnarray}$ aussieht, interessiert uns nicht, weil uns ja nur die Restklassen interessieren. Welchen Grad kann denn nun $\begin{eqnarray} r(X) \end{eqnarray}$ maximal haben? Wenn du diesen Grad gefunden hast, dann ist nicht mehr viel zu tun.
02.09.2010, 23:53	bvs	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, okay, ist es dann richtig, zu sagen, dass der grad in diesem fall von r(X) kleiner als 2 sein muss, oder allgemein eben kleiner als der grad des nenners, sodass ich nun alle polynome modulo 2 suche, die das erfüllen? in diesem fall wäre das ja dann: 0,1,1+x,x, also 4 möglichkeiten.
03.09.2010, 14:33	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau richtig.
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04.09.2010, 13:02	bvs	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für deine hilfe, mulder
03.02.2011, 22:45	juhu	Auf diesen Beitrag antworten »
von mir auch vielen dank .. hab jetz ein jahr später das prob gehabt und das ist richtig gut erklärt .. top

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