Lineare Abbildung in verschiedenen Basen

03.09.2010, 12:53

Physinetz

Lineare Abbildung in verschiedenen Basen

Hallo,

hätte da eine Aufgabe zu obigem Thema:

Sei $\begin{eqnarray*} b_1=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_3=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ beschreibt: $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3-->\mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1--> c_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_2 -- > c_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_3--> c_1+c_2 \end{eqnarray*}$

Weiter seien die kanoischen Basen für $\begin{eqnarray*} R^2 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die Matrixdarstellung bezüglich den Basen:

a) $\begin{eqnarray*} B=\left\{ b_1,b_2,b_3\right\} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} C=\left\{ c_1,c_2\right\} \end{eqnarray*}$

b) B und e

c) E und c

Also zu a):

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist ja in der Base E gegeben, oder?

Wäre also

$\begin{eqnarray*} _E\alpha_E= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 4 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

Bevor ich den Rest machen kann sollt ich erstmal das wissen^^

Dankeschön

03.09.2010, 13:10

klarsoweit

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RE: Lineare Abbildung in verschiedenen Basen

Zitat:

Original von Physinetz
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist ja in der Base E gegeben, oder?

Wieso? Es sind doch ausdrücklich die Bidler der Basisvektoren von B angegeben.

Zitat:

Original von Physinetz
Wäre also

$\begin{eqnarray*} _E\alpha_E= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 4 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

Das stimmt zwar, aber eigentlich ist $\begin{eqnarray*} _C \alpha_B \end{eqnarray*}$ gefragt.

03.09.2010, 13:40

Physinetz

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Hab da irgendwie immer Probleme in welcher Base eine Abbildung gegeben ist etc.

1) Heißt quasi, wenn ich einfach eine Abbildung gegeben habe ohne das was von Basen erwähnt wird, ist dies eine $\begin{eqnarray*} _E \alpha_E \end{eqnarray*}$ Abbildung?

Wenn aber wie hier von Base B nach C abgebildet wird, eben eine $\begin{eqnarray*} _C \alpha_B \end{eqnarray*}$ Abbildung.

2) Heißt was ich ausgerechnet habe ist quasi $\begin{eqnarray*} _C \alpha_B \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} _C\alpha_B= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 4 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

Und um $\begin{eqnarray*} _E \alpha_E \end{eqnarray*}$ zu erhalten muss ich rechnen:

$\begin{eqnarray*} _E \alpha_E = _Eid_C * _C\alpha_B * _Bid_E \end{eqnarray*}$

Danke klarsoweit Willkommen

03.09.2010, 13:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Physinetz
2) Heißt was ich ausgerechnet habe ist quasi $\begin{eqnarray*} _C \alpha_B \end{eqnarray*}$

Nein. Du hast (wie ich auch bestätigte) $\begin{eqnarray*} _E \alpha_E \end{eqnarray*}$ berechnet.

Zitat:

Original von Physinetz
Also:

$\begin{eqnarray*} _C\alpha_B= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -2 & 1 & 4 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

Völlig falsch.

04.09.2010, 17:14

Physinetz

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Was wäre dann des Rätsels Lösung?

$\begin{eqnarray*} _C \alpha_B \end{eqnarray*}$ wäre ja eine Abbildung der Base B auf die Base C.

Wäre $\begin{eqnarray*} _C \alpha_B \end{eqnarray*}$ dann einfach eine Matrix mit den Basen von C als Spalten?

05.09.2010, 11:11

Physinetz

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könntest mir nochmal helfen, thx

05.09.2010, 20:50

Physinetz

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Bräuchte hier noch schnell Hilfe bitte!
Hab morgen meine Prüfung und würde das gerne noch mitnehmen, sorry für die Eile

Danke an Alle

06.09.2010, 14:55

Reksilat

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Hi physi,

Nimm mal an, dass Du zwei Vektorräume $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ hast, mit Basen $\begin{eqnarray*} X=\{x_1,..,x_m\} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Y=\{y_1,..,y_n\} \end{eqnarray*}$ .
Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha:V\to W \end{eqnarray*}$ hat bezüglich der Basen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ eine Matrixdarstellung und diese kann man zum Beispiel mit $\begin{eqnarray*} _Y\alpha_X \end{eqnarray*}$ bezeichnen.
Die Einträge in den Spalten der Matrix geben Dir dabei jeweils an, worauf die Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Dabei wird das Bild bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ angegeben.
Also wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ den Vektor $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} y_2+y_3 \end{eqnarray*}$ abbildet, so steht in der ersten Spalte der Matrix $\begin{eqnarray*} _Y\alpha_X \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (0 mal Vektor $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ , 1 mal Vektor $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ , 1 mal Vektor $\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ )

Nun versuche das mal mit Deinen Basen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Das ist wirklich der unkomplizierteste und Weg und die Darstellungsmatrix wird sehr einfach aussehen. Augenzwinkern

Außerdem wirst Du nur so überhaupt verstehen, was es mit den Abbildungsmatrizen auf sich hat.

btw.: Die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} _E\alpha_E \end{eqnarray*}$ ist sinnlos, da $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ hier eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist, aber $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ abbildet. $\begin{eqnarray*} _e\alpha_E \end{eqnarray*}$ ist hier sinnvoller.

Gruß,
Reksilat.

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