Inhalt eines Polynoms berechnen Problem bei ggT von Polynomen

04.09.2010, 19:09

Lillli

Inhalt eines Polynoms berechnen Problem bei ggT von Polynomen

Meine Frage:
Hallo ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Man bestimme den Inhalt von $\begin{eqnarray*} P=X^3Y+X^3+X^2Y^2-X^2+XY^3-XY \end{eqnarray*}$
in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[Y][X] \end{eqnarray*}$ und anschließend in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X][Y] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass der Inhalt eines Polynoms

$\begin{eqnarray*} P=a_0 +a_1 \cdot X + ... + a_n \cdot X^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cont(P):=ggT(a_0 ,... , a_n) \end{eqnarray*}$ ist.

Ich nehme an, dass ich bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X][Y] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[Y][X] \end{eqnarray*}$ einmal X und einmal Y als Variable ansehen soll.

Ich sehe also zunächst X als Variable (ist das dann $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X][Y] \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[Y][X] \end{eqnarray*}$ ?)

Und forme das Polynom um zu
$\begin{eqnarray*} P=(Y+1)X^3+(Y^2-1)X^2+(Y^3-Y)X \end{eqnarray*}$ .

Damit ist der Inhalt
$\begin{eqnarray*} cont(P)=ggT(Y+1, Y^2-1, Y^3-Y) \end{eqnarray*}$

Wie finde ich jetzt raus, welcher der drei der ggT ist? Bei normalen Zahlen ist es einfach die größte, aber hier weiß ich nicht, wie ich das feststellen könnte.

Vielen Dank für jede Hilfe.

04.09.2010, 19:36

system-agent

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Wenn du $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[X][Y] \end{eqnarray*}$ schreibst, dann meint das den Polynomring in der Variablen $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Sprich die Elemente sind Polynomen in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ und die Koeffizienten sind Polynomen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Dein Inhalt ist richtig. Nun kannst du die Polynome im ggT faktorisieren in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[Y] \end{eqnarray*}$ . Zum Beispiel das erste ist sicher schon irreduzibel. Ist es das zweite auch? Und das dritte ist es sicher noch nicht.
Dann schaust du, ganz wie bei der Primfaktorzerlegung von Zahlen, welche irreduziblen Faktoren in allen drei Argumenten vorkommen, das ist dann dein ggT.
Falls dieser eine Einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[Y] \end{eqnarray*}$ ist, dann ist der ggT gerade 1.

04.09.2010, 20:43

Lillli

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Zitat:

Dann gilt also $\begin{eqnarray*} P=(Y+1)X^3+(Y^2-1)X^2+(Y^3-Y)X \in \mathbb{Q}[Y][X] \end{eqnarray*}$ .
da hier X die Variable ist und die Koeffizienten von Y abhängen.

Zitat:

Nun kannst du die Polynome im ggT faktorisieren in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[Y] \end{eqnarray*}$ .

Es gilt
Y+1
$\begin{eqnarray*} (Y^2-1)= (Y+1)(Y-1) \end{eqnarray*}$ nach der 3. binomischen Formel.
$\begin{eqnarray*} (Y^3-Y)= Y \cdot (Y^2-1)= Y \cdot (Y+1)(Y-1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dann schaust du, ganz wie bei der Primfaktorzerlegung von Zahlen, welche irreduziblen Faktoren in allen drei Argumenten vorkommen, das ist dann dein ggT.

Ich habe nun die irreduziblen Faktoren (Y+1), (Y-1) und Y. In allen drei Argumenten kommt aber nur (Y+1) vor, also gilt:

$\begin{eqnarray*} cont(P)=ggT(Y+1, Y^2-1, Y^3-Y)= Y+1 \end{eqnarray*}$

Es kann ja auch vorkommen, dass ich keinen ggT habe, wenn ich die Zerlegungen
Y+1
(Y+1)(Y-1)
Y (Y-1)
hätte.
Was passiert dann mit dem Inhalt?

Zitat:

Falls dieser eine Einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[Y] \end{eqnarray*}$ ist, dann ist der ggT gerade 1.

Das verstehe ich noch nicht so ganz. Könntest du mir dazu vielleicht ein Beispiel nennen?

Ich weiß, dass Einheiten die Elemente sind, die multipliziert mit einem anderen Element 1(das neutrale Element der Multiplikation) ergeben. Also sind das in dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ alle Zahlen außer der 0.
In einem Polynomring über einem Körper K gilt ja, dass die Einheiten die Polynome mit Grad 0 sind. Die rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ sind ja ein Körper. Das wären dann ja alle Polynome in denen kein Y vorkommt oder? Also z.B. P=3. Dann wäre hier cont(P)=1?

Dann noch zur Probe, ob ich es auch wirklich verstanden habe der zweite Teil der Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} P=XY^3+X^2Y^2+(X^3-X)Y+(X^3-X^2)Y^0 \in \mathbb{Q}[X][Y] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cont P = ggT(X, X^2, X^3-X, X^2-X) \end{eqnarray*}$
In allen Elementen aus dem ggT kommt nur X vor, also folgt
cont P = X.

04.09.2010, 21:47

system-agent

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Zitat:

Original von Lillli
Dann gilt also $\begin{eqnarray*} P=(Y+1)X^3+(Y^2-1)X^2+(Y^3-Y)X \in \mathbb{Q}[Y][X] \end{eqnarray*}$ .
da hier X die Variable ist und die Koeffizienten von Y abhängen.

Ganz genau Freude

Zitat:

Original von Lillli
Es gilt
Y+1
$\begin{eqnarray*} (Y^2-1)= (Y+1)(Y-1) \end{eqnarray*}$ nach der 3. binomischen Formel.
$\begin{eqnarray*} (Y^3-Y)= Y \cdot (Y^2-1)= Y \cdot (Y+1)(Y-1) \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von Lillli
$\begin{eqnarray*} cont(P)=ggT(Y+1, Y^2-1, Y^3-Y)= Y+1 \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

Original von Lillli
Es kann ja auch vorkommen, dass ich keinen ggT habe, wenn ich die Zerlegungen
Y+1
(Y+1)(Y-1)
Y (Y-1)
hätte.
Was passiert dann mit dem Inhalt?

Gegenfrage: Was wäre, wenn du in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ folgendes stehen hättest:
$\begin{eqnarray*} \text{ggT}(2\cdot2\cdot3\cdot1291,5\cdot7,67\cdot101) \end{eqnarray*}$ ?
Genau dieser Fall tritt dann auch in deinem Fall ein.

Zitat:

Original von Lillli

Zitat:

Falls dieser eine Einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[Y] \end{eqnarray*}$ ist, dann ist der ggT gerade 1.

Das verstehe ich noch nicht so ganz. Könntest du mir dazu vielleicht ein Beispiel nennen?

Siehe oben.

Zitat:

Original von Lillli
Ich weiß, dass Einheiten die Elemente sind, die multipliziert mit einem anderen Element 1(das neutrale Element der Multiplikation) ergeben. Also sind das in dem Körper alle Zahlen außer der 0.
In einem Polynomring über einem Körper K gilt ja, dass die Einheiten die Polynome mit Grad 0 sind. Die rationalen Zahlen sind ja ein Körper. Das wären dann ja alle Polynome in denen kein Y vorkommt oder? Also z.B. P=3. Dann wäre hier cont(P)=1?

Ja.

Zitat:

Original von Lillli
Dann noch zur Probe, ob ich es auch wirklich verstanden habe der zweite Teil der Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} P=XY^3+X^2Y^2+(X^3-X)Y+(X^3-X^2)Y^0 \in \mathbb{Q}[X][Y] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cont P = ggT(X, X^2, X^3-X, X^2-X) \end{eqnarray*}$
In allen Elementen aus dem ggT kommt nur X vor, also folgt
cont P = X.

Ja.

04.09.2010, 22:00

Lillli

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woow, vielen Dank für die genaue Beantwortung von allen meinen Fragen smile

Zitat:

Also alle Faktoren sind Primzahlen. Sie sind also irreduzibel über den ganzen Zahlen.
In diesem Fall ist über den ganzen Zahlen der ggT = 1.

Wenn ich das jetzt auf mein Beispiel übertrage, müsste auch hier der ggT=1 sein.

04.09.2010, 22:03

system-agent

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Ja, genau das ist so.

04.09.2010, 22:17

Lillli

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ok, danke nochmals für deine Hilfe smile

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