ggT von zwei Polynomen berechnen

Neue Frage »

04.09.2010, 22:50	Lillli	Auf diesen Beitrag antworten »
ggT von zwei Polynomen berechnen Meine Frage: Hallo, meine Aufgabe lautet: Man berechne den ggT folgender Polynome a) $\begin{eqnarray} P=24X^3-81 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q=24X^2-72X+54 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray}$ . Hinweis: Man bestimme den ggT zuerst in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}[X] \end{eqnarray}$ und schließe auf $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe zunächst die Primfaktorzerlegung durchgeführt: für P: $\begin{eqnarray} 24X^3 = X \cdot X \cdot X \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -81= -3 \cdot 3\cdot 3 \cdot 3 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gilt also $\begin{eqnarray} cont(P)=3 \end{eqnarray}$ . Da dieser Faktor als einziger in beiden Termen vorkommt. für Q: $\begin{eqnarray} 24X^2= X \cdot X \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -72X= -X \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 54= 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \end{eqnarray}$ . damit ist $\begin{eqnarray} cont(Q)=2 \cdot 3=6 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ In beiden Polynomen ist der Faktor 3 in jedem Summand enthalten. Deshalb ist 3 auf jeden Fall ein Faktor im ggT(P,Q). Also $\begin{eqnarray} ggT(P,Q)= 3 \cdot ( \ldots) \end{eqnarray}$ Dadurch erleichtert sich die Rechnung etwas, da ich ja jeweils die 3 ausklammern kann und dann mit leichteren Polynomen $\begin{eqnarray} P'(\frac{P}{3}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q'=(\frac{Q}{3}) \end{eqnarray}$ weiterrechnen kann. Hier soll ich also den ggT(Q',P') berechnen. Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich weiter vorgehen könnte, da ich die 3 ja schon rausgezogen habe. Mit dem Hinweis kann ich auch irgendwie nichts anfangen... Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könnt.
05.09.2010, 19:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Faktorisierung von P und Q bekommst du mit einfachsten Mitteln. $\begin{eqnarray} X^3=\frac {27} 8=(\frac 3 2)^3 \end{eqnarray}$ . Das ergibt eine rationale Nullstelle. Es bleibt über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ein quadratisches Polynom übrig. Q ist sowieso nur ein quadratisches Polynom, das du faktorisieren kannst.
07.09.2010, 22:09	Lillli	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Q kann ich ja mit der Mitternachtsformel faktorisieren. Dabei erhalte ich die doppelte Nullstelle 1,5. $\begin{eqnarray} Q'=(X-1,5)^2 \cdot 4 \end{eqnarray}$ bei P`komme ich auf die erste Nullstelle 1,5. Wenn ich dann eine Polynomdivision mache, erhalte ich die zwei weiteren komplexen Nullstellen $\begin{eqnarray} x_{2,3}= -0,75 \pm i \cdot 1,299 \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich also Nullstellen, die sich teilweise in $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ befinden und teilweise sogar in den komplexen Zahlen. Jetzt bestimme ich wie es in dem Tipp steht den ggT in den rationalen Zahlen von P' und Q' Dieser ist (x-1,5) da ich beides Mal die Nullstelle 1,5 habe. Wie kann ich jetzt auf die ganzen Zahlen schließen? Ich würde ja gerne mit 2 multiplizieren um auf (2X-3) als ggT in den ganzen Zahlen zu kommen, aber ich habe in 81 (was ja in P drinsteht) keine zwei, die ich rausziehen könnte... Wie kann ich denn sonst auf die ganzen Zahlen schließen? Und was würde ich machen, falls ich nicht zufällig zweimal die gleiche Nullstelle erhalten würde?
08.09.2010, 18:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
2X-3 als Teiler ist eine prima Idee, teile P und Q durch 2X-3 und schau was dabei entsteht. Dass der Faktor 3 auch noch überall drinsteckt, ist dir ja längst schon klar.
08.09.2010, 19:48	Lillli	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Polynomdivision erhalte ich $\begin{eqnarray} P=3 \cdot (2X-3)(4X^2+6X+9) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Q= 3 \cdot (2X-3)(4X-6) \end{eqnarray}$ Also folgt $\begin{eqnarray} ggT(P,Q)= 3 \cdot (2X-3) \end{eqnarray}$ . Stimmt das so? Das hat jetzt aber ja nur geklappt, weil zufällig beide Polynome dieselbe Nullstelle hatten. Diese befand sich zwar nicht in den ganzen Zahlen, konnte aber durch Multiplikation mit 2 dazu "erweitert" werden. Wie kann ich an solch eine Aufgabe herangehen, wenn die beiden Polynome nicht zufällig dieselbe Nullstelle haben?
10.09.2010, 19:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper (z.b. $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ) zerfallen Polynome in Linearfaktoren. Über den rellen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ zerfallen Polynome in Linearfaktoren und quadratische Polynome. Dasselbe gilt dann natürlich auch für Polynome mit rationalen, ganzzahligen oder natürlichen Koeffizienten. Suche nach gemeinsamen Nullstellen ist daher immer eine gute Idee, wenn man den ggT von Polynomen sucht.
Anzeige

11.09.2010, 20:34	Lillli	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was mache ich, wenn ich keine gemeinsame Nullstelle finde? Kann ich dann darauf schließen, dass 1 der größte gemeinsame Teiler der beiden Polynome ist?
11.09.2010, 20:45	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Elvis: Kommt (zumindest formal) das "3*" nicht weg? Beim ggT?
11.09.2010, 20:50	Lillli	Auf diesen Beitrag antworten »
@Equester: Also in meiner Lösung steht die drei auch mit drin. Ich glaube die kann man mit rausziehen, da wir den ggT über den ganzen Zahlen suchen. Bei der Suche eines ggT über den rationalen Zahlen dürfte man die drei nicht mit rausziehen. Es gilt ja auch: $\begin{eqnarray} 6X-4 \end{eqnarray}$ ist irreduzibel über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ aber nicht über $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Dort zerfällt es in $\begin{eqnarray} 2 \cdot (3X-2) \end{eqnarray}$ Ich weiß allerdings nicht warum man die drei (oder in meinem Bsp die 2) einmal mit rausziehen darf und einmal nicht...
12.09.2010, 12:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das letzte Beispiel zeigt sehr gut, worum es geht. Über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ sind lineare Polynome irreduzibel, weil alle rationalen Zahlen ungleich 0 invertierbar, also "Einheiten" in $\begin{eqnarray} \mathbb Q^ \end{eqnarray}$ sind. In $\begin{eqnarray} \mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} 6X-4=6(X-\frac 2 3)=4(\frac 3 2 X-1)=a(\frac 6 a X- \frac 4 a) , a\in \mathbb Q^* = \mathbb Q \backslash \{ 0 \} \end{eqnarray}$ In der Klasse der assoziierten Polynome gibt es genau ein normiertes Polynom, d.h. ein Polynom mit Koeffizient 1 beim höchsten Monom ( hier $\begin{eqnarray} X-\frac 2 3 \end{eqnarray}$ ) . Über $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ sind die Verhältnisse komplizierter, dort gibt es eine interessante Theorie der Teilbarkeit ganzer Zahlen. (a \| b genau dann wenn es eine ganze Zahl c gibt mit ac=b). Diese Theorie findet ihre Fortsetzung in der Theorie der Ringe (insbesondere der Polynomringe) und in der Zahlentheorie. In der Aufgabe gilt daher $\begin{eqnarray} P,Q\in\mathbb Z[X]\Rightarrow ggT(P,Q)=3(2X-3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P,Q\in\mathbb Q[X]\Rightarrow ggT(P,Q)=(X-\frac 3 2) \end{eqnarray*}$
12.09.2010, 14:11	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch beiden

Neue Frage »

Antworten »

ggT von zwei Polynomen berechnen

Verwandte Themen