Diagonalisierbarkeit

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Bazza Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit
hallo,

ich habe gestern meine LA klausur geschrieben, und bin mir unsicher, ob ich diese aufgabe richtig bearbeitet habe. wenn ich mich noch richtig erinnere, war der wortlaut der aufgabe in etwas wie folgt:

Zitat:

Es sei , lineare abbildungen definiert durch


Zeigen Sie, dass sowohl als auch diagonalisierbar sind, und bestimmen Sie die jeweiligen Eigenwerte und Eigenvektoren.


zunächst einmal zu der ersten abbildung,
ich habe mir das zuerst anhand des beispiels n=2 überlegt. dann sind wir im VR der 2x2 matrizen mit der Standardbasis

dann habe ich die abbildungsmatrix von berechnet für den fall n=2, und wollte von darauf auf den n-fachen fall schließen.
dazu hab ich dann die bilder der standardbasis unter berechnet, und sie als linearkombination der basis B geschrieben. dann hab ich für n=2 folgende matrix erhalten:

ich weiß nicht, wie ich den allgemeineren fall mit latex machen soll, deshalb versuch ich das etwas zu umschreiben:
die einträge sind 1, genau wie die diagonaleinträge der transponierten matrix, alle anderen einträge sind 0.

das charakteristische polynom für den fall n=2 ist , faktorisiert dann . die eigenwerte wären somit -1 und 1, wobei die algebraische vielfachheit der zweiten nullstelle 3 ist.

kann ich nun darauf schließen, dass das charakteristische polynom der nxn matrix dann wie folgt aussieht:? damit wäre die algebraische vielfachheit entsprechend hoch, und die eigenwerte gleich.

im fall n=2 ist der
eigenraum zum eigenwert 1 , wobei <,> hier das erzeugnis bezeichnet.

und der eigenraum zum eigenwert -1

die dimension der eigenräume entspricht der algebraischen vielfachheit der eigenwerte, also ist diagonalisierbar für den fall n=2.

kann ich ganz analog auf den n-dimensionalen fall schließen?

damit wäre der eigenraum zum eigenwert 1

damit wäre die dimension des eigenraums des eigenwerts 1 n-1, die dimension des eigenraums -1 dann 1, was auch der algebraischen vielfachheit der entsprechenden eigenwerte eintspricht. somit wäre auch für den n-dimensionalen fall diagonalisierbar.

das ganze kommt mir etwas komisch vor, deshalb befürchte ich, dass ich die aufgabe etwas falsch bearbeitet habe. könnte mir da jemand weiterhelfen?


danke schonmal im voraus.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisierbarkeit
Hi Bazza,

Schon für hat Dein charakteristisches Polynom Grad 4. Dementsprechend ist es unwahrscheinlich, dass es allgemein den Grad hat. Da Dein VR die Dimension hat, hat auch das charakteristische Polynom immer den Grad .

Außerdem fehlt bei Dir jegliche Argumentation, weshalb der Fall analog ablaufen sollte. Das erinnert eher an ein Ratespiel, als an Mathematik und damit wirst Du nie weit kommen. Gerade in solchen Beispielen ist es sinnvoll, dann auch noch einen Schritt weiter zu gehen, sprich: auch den Fall zu untersuchen.

Dann solltest Du auf jeden Fall schon klarer sehen. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann das ganze natürlich auch abstrakt angehen. Es ist , also teilt das Minimalpolynom von das Polynom . Beachte hier jedoch, dass die Charakteristik von K ungleich 2 sein sollte.

Betrachte nun die Abbildung .
Die Darstellungsmatrix hat bezüglich jeder Basis die gleiche Form, also insbesondere auch bezüglich derjenigen Basis, die die Matrix von diagonalisiert.

Was kannst du also über die Darstellungsmatrix von sagen? Und die Eigenwerte?

Nun zu den Eigenvektoren: Die Eigenvektoren von solltest du kennen, sie haben besondere Namen.

Auf die Eigenvektoren von sollte man jetzt auch leicht kommen.

Edit: Nachtrag, über dem hat die JNF .
Bazza Auf diesen Beitrag antworten »

@Reksilat
du hast mit deiner anmerkung bezüglich der dimension natürlich recht, das habe ich nicht beachtet.

für den fall n=3 erhalte ich die entsprechende 9x9 matrix, mit charakteristischem polynom

die eigenvektoren habe ich nun auch berechnet, gesehen, dass die algebraische gleich der geometrischen vielfachheit ist, wodurch die abbildung auch für den fall n=3 diagonalisierbar ist, und gesehen, dass meine vorherigen vermutungen nicht richtig sind. allerdings sehe ich jetzt auch noch nicht wirklich klarer und weiß nicht so ganz, wie ich auf den n-dimensionalen fall kommen kann.


@jester
das ist ein sehr interessanter ansatz, den ich allerdings noch nicht so ganz verstanden habe. ich schätze, dass das auch der in der klausur geforderte ansatz ist, da der andere schon zuviel zeit in anspruch genommen hat, und die aufgabe 1 von 7 gewesen ist.
Ich muss mir diesen ansatz einmal durch den kopf gehen lassen, dann melde ich mich wieder.

gruß, baz.
Bazza Auf diesen Beitrag antworten »

da ich nicht registriert bin, muss ich leider einen doppelpost machen:

zu deinem edit, jester:

die JNF haben wir leider noch nicht behandelt, ist es trotzdem möglich, diesen ansatz zu verstehen und anzuwenden?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja, denn an diesem kleinen Beispiel sieht man (durch Vergleichen der alg. und geom. Vielfachheiten), dass die Abbildung über nicht diagonalisierbar ist. Dieses Argument lässt sich vllt. auch auf die anderen Körper der Charakteristik 2 übertragen.

War denn über den Körper nichts vorausgesetzt? Die Aufgabe "Zeigen Sie ist diagonalisierbar." ist ja offensichtlich nicht über jedem Körper lösbar.

Edit: Auch ist nicht in jedem Körper ein sinnvoller Ausdruck.
 
 
Bazza Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin mir nicht mehr ganz sicher, aber wahrscheinlich war es
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Ansatz über die Eigenvektoren:
Schreibe Dir die Eigenvektoren doch mal wieder als 3x3-Matrix auf. Du findest drei Matrizen, die genau eine 1 auf der Diagonale haben. Diese Matrizen finden sich auch im allgemeinen Fall wieder, da hast Du dann eben solcher Matrizen zum Eigenwert 1.
Dann gibt es noch Matrizen, die überall Nullen haben und nur an den zwei Stellen (i>j) - auch diese gehören zum Eigenwert 1. Davon gibt es hier drei Matrizen und allgemein sind es . Zu diesen lässt sich dann auch noch immer eine analoge Matrix mit und finden, diese gehören zum Eigenwert -1. Damit hast Du insgesamt linear unabhängige Matrizen, die Eigenvektoren darstellen, gefunden, also eine Basis von .
Damit ist die Abbildung diagonalisierbar.
Bazza Auf diesen Beitrag antworten »

@Reksilat

Ich danke dir für diese erklärung, nun habe ich verstanden, wie das ganze funktioniert. leider habe ich es in der klausur somit falsch gemacht, aber das lässt sich ja nicht mehr ändern.

@jester

Ich denke, ich habe diesen ansatz nun auch verstanden, allerdings habe ich noch eine kleine frage:

Zitat:


Man kann das ganze natürlich auch abstrakt angehen. Es ist , also teilt das Minimalpolynom von das Polynom


woher weißt du, dass gilt, ohne es explizit auszurechnen? Ich habe mir das an den abbildungsmatzizen für n=2 und n=3 verdeutlichen müssen, gibt es da auch einen alternativen weg?


Ich danke euch beiden nochmals für eure bemühungen smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abbildung schickt doch einfach nur eine Matrix auf ihre Transponierte. Wenn ich diese neue Matrix dann wieder transponiere, kommt wieder die ursprüngliche Matrix heraus.
Bazza Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme mir zwar etwas dumm vor, aber so ganz versteh ich das immer noch nicht.

Zitat:
Die Abbildung schickt doch einfach nur eine Matrix auf ihre Transponierte. Wenn ich diese neue Matrix dann wieder transponiere, kommt wieder die ursprüngliche Matrix heraus.



,
d.h. , oder sehe ich das falsch?

damit gilt, müsste aber doch sein,
aber .

Ich glaube ich stell mich heute etwas dumm an.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


,
d.h. , oder sehe ich das falsch?


Ja, wie willst du das denn folgern? Jede Matrix erfüllt .

Was du jedoch folgern kannst ist: oder, falls du eine Darstellungsmatrix von hast, .

Beachte also, dass einfach nur eine beliebige Matrix ist, die von abgebildet wird.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bazza

,
d.h. , oder sehe ich das falsch?
.

Du solltest nicht sowohl die Abbildungsmatrix von phi mit A als auch das Argument von phi mit A bezeichnen.
Wenn du für 2 verschiedene Dinge denselben Bezeichner nimmt ist Verwirrung ja vorprogrammiert.
Bazza Auf diesen Beitrag antworten »

danke, jetzt hab ich es verstanden.
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