Erzeugen von symmetrischer Gruppe

08.09.2010, 16:26

fee90

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Erzeugen von symmetrischer Gruppe

ich soll herausfinden, ob $\begin{eqnarray*} \alpha (1,3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta (1,2,3,4) \end{eqnarray*}$ die symmetrische gruppe $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ erzeugen.
ich komme mit der aufgabe nicht klar.

wenn ich die zykel (1,3)(1,2,3,4) so notiere, dann heißt das doch nichts anderes als:
1 -> 2
2 -> 1
3 -> 4
4 -> 3
wirklich mehr kann ich nicht mit den informationen aus der aufgabe anfangen, kann mir jemand helfen?

08.09.2010, 16:29

fee90

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außerdem hab ich mir überlegt, dass folgendes zutreffen müsste:
$\begin{eqnarray*} \sigma ^k (1,3) \sigma^{-k} = (k+1,k+3) \end{eqnarray*}$
kann man damit irgendwas anfangen?

09.09.2010, 12:52

Reksilat

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Hi fee,

Die $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ ist mit 24 Elementen noch relativ klein. Versuche doch erst mal, noch ein paar weitere Elemente im Erzeugnis $\begin{eqnarray*} \langle (13),(1234)\rangle \end{eqnarray*}$ zu finden. Beachte dabei, dass dieses Erzeugnis eine Untergruppe ist und dessen Ordnung somit ein Teiler von 24 sein muss.

Ansonsten kannst Du auch die Operation der beiden Elemente auf der Menge $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ untersuchen. Diese lassen nämlich eine nichttriviale Partition der Menge invariant, was bei der ganzen $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ nicht mehr sein kann.

Gruß,
Reksilat.

11.09.2010, 14:43

fee90

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danke erst mal für deine hilfe....
ich weiß glaub ich nicht genau, wie ich mit der schreibweise
<(13),(1234)> umgehen darf und kann...
ich könnte ja versuchen alle elemente, die aufgespannt werden, anzugeben. dann schaue ich, ob es 24 sind, was ja dann der S4 entspräche.

das bereitet mir aber schwierigkeiten, weil ich nicht genau weiß, was ich mit <(13),(1234)> machen darf.
wäre es z.b. richtig folgende elemente zu nennen:
(1,3)
(1,2,3,4)
(1,2)(3,4)
?

11.09.2010, 15:06

wisili

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Zitat:

Original von Reksilat
... kannst Du auch die Operation der beiden Elemente auf der Menge $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ untersuchen. Diese lassen nämlich eine nichttriviale Partition der Menge invariant. ...

@Reksilat
Wie meinst du denn das? Für den Zykel (1234) ist keines der 4 Elemente invariant.

11.09.2010, 18:12

Reksilat

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@Wisili:
Ich schrieb ja auch von einer Partition der Menge. Also eine disjunkte Zerlegung in Teilmengen, wie zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \{1\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{2,3,4\} \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} \{1,4\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{2,3\} \end{eqnarray*}$

Es gibt eine solche Partition, die von beiden Elementen invariant gelassen wird.

@fee:
Im Erzeugnis von Gruppenelementen sind alle mögliche Produkte dieser Elemente enthalten.
$\begin{eqnarray*} \langle a,b\rangle \end{eqnarray*}$ enthält also zum Beispiel die Elemente $\begin{eqnarray*} a,a^2,a^3,b,b^2,b^3,ab,ba,aba,ab^2aba^3b,... \end{eqnarray*}$

Auf diese Weise wirklich alle Elemente im Erzeugnis zu finden, ist meist recht kompliziert, aber man kann schon mal ein paar Elemente finden, dadurch die Ordnung nach unten abschätzen und vielleicht eine Vermutung aufstellen.

Gruß,
Reksilat.

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11.09.2010, 21:41

wisili

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@Reksilat
Danke: der Groschen ist gefallen. Die «Partition ist invariant» will heissen, die Parts werden permutiert (und nicht, die Parts sind invariant, wie ich das auffasste).

12.09.2010, 11:59

fee90

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in ordnung, danke, das bringt mich doch jetzt mit der vorstellung von dem ganzen doch ein stück weiter.

nur zur kontrolle, ob ich das ganze richtig "rechne", ich nehme mal eine mögliche verbindung mit zahlenbeispiel und rechne es durch.

z.b.

(1,3)(1,3)(1,2,3,4)(1,2,3,4)(1,2,3,4)

das heißt dann, ich fange hinten an.. ordne der 1 die 4 zu, dann geh ich eins nach links, ordne der 4 die 1 zu, dann der 1 die 4 wieder, diese bleibt dann konstant, also erhalte ich insgesamt:
1 -> 4

dann mache ich hinten mit der 2 weiter: 2 auf 3, 3 auf 2, 2 auf 3, 3 auf 1, 1 auf 3, also:
2 -> 3

und schließlich
3-> 4
und 4->1

weil 1 und 3 auf die 4 gehen ist es keine permutation, und ich darf weiter suchen..
ist das so richtig?
da würde dann auch sehr ersichtlich, warum es sich lohnt mehr über die aufgabe nachzudenken, als nur loszurechnen und zu probieren.

12.09.2010, 12:04

Reksilat

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Nein, eine Hintereinanderausführung von Permutationen ist immer eine Permutation! - Du hast Dich verrechnet. Das Ergebnis ist in Deinem Fall (1,4,3,2).

Außerdem solltest Du mit kleineren Produkten anfangen. Also zum, Beispiel (1,2,3,4)(1,2,3,4)=(13)(24).

Dann schreibst Du auf, was Du so findest $\begin{eqnarray*} \langle (13),(1234)\rangle=\{(13),(1234),(13)(24),(1432),...\} \end{eqnarray*}$

12.09.2010, 18:43

fee90

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ich hatte irgendwie im hinterkopf, dass ich beim berechnen der zykel immer hinten anfangen muss, also von rechts nach links vorgehe, statt von links nach rechts.

das scheint wohl nicht so zu sein?!

also wenn ich ganz normal von links nach rechts rechne, komme ich auf die gleichen ergebnisse wie du, dann hab ich es verstanden, also geht es immer genau so?

13.09.2010, 10:24

Reksilat

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Also bei den bisherigen Beispielen sollte es keinen Unterschied machen, ob Du von links oder von rechts liest. verwirrt

verwirrt

Ansonsten macht das jeder Dozent wie er mag, d.h. es tauchen beide Lesarten auf. Du musst dann eben schauen, wie es bei Euch gemacht werden soll.

13.09.2010, 11:14

fee90

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ich hab mir gerade nochmals das beispiel, das ich oben gerechnet habe durchgeschaut, du hast recht, von rechts nach links hatte ich mich verrechnet, von links nach rechts hatte ich richtig gerechnet, das war dann wohl das problem.
vielen dank für die geduld, die du aufgebracht hast mit mir smile

smile

das partitions-argument hab ich noch nicht ganz geschluckt, bzw. sehe nicht, welche disjunkte zerlegung invariant gelassen wird durch (1,3) und (1,2,3,4) bzw. weiß nicht, wie ich sowas sehen kann.

13.09.2010, 11:19

Reksilat

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Das mit der Partition musst Du auch nicht gleich sehen. War nur als Alternative gedacht.

Mach doch mal damit weiter, noch ein paar Elemente im Erzeugnis zu finden. (Tipp: Es sind insgesamt acht.)
Vor allem ein Element solltest Dir sofort einfallen, da dieses in jeder Untergruppe enthalten sein muss.

Gruß,
Reksilat.

13.09.2010, 11:33

fee90

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ok, ich hab jetzt weiter gesucht und habe denke ich folgende 8 elemente gefunden:
(13)(1234)
(1234)
(13)(23)
(1432)
id
(12)(34)
(24)
(14)(23)
passt das so?

13.09.2010, 11:35

fee90

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in der obersten zeile gehört das (1234) natürlich weg.

aber naja, ich hab da jetz ewig rumgerechnet, und du hast es sofort gesehen, dass es nur 8 möglichkeiten gibt, oder?

13.09.2010, 11:52

Reksilat

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In der dritten Zeile soll es wohl (13)(24) heißen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und, ja, ich weiß, was das Erzeugnis dieser beiden Elemente ist. Diese Gruppe ist nämlich ziemlich bekannt.

Nun wissen wir zwar, dass das Erzeugnis mindestens acht Elemente hat, aber es könnte ja immer noch größer werden. Eine Möglichkeit wäre nun, nachzurechnen, dass diese Menge unter der Hintereinanderausführung abgeschlossen ist. Dann ist das ganze schon eine Untergruppe und das Erzeugnis kann nicht größer werden. Das ist nun etwas aufwendig, man muss z.B. eine 8x8 Verknüpfungstabelle aufschreiben, oder zumindest bei jedem Element nachprüfen, ob man nach Multiplikation mit (13) oder (1234) noch in der Menge drin bleibt.

Eine andere Möglichkeit wäre es, hier geometrisch zu argumentieren. Die gefundene Gruppe ist nämlich die Symmetriegruppe des Quadrats. - Male Dir ein Quadrat auf, bezeichne die Ecken im Uhrzeigersinn mit 1,2,3,4 und betrachte die Operation der obigen Elemente auf den Ecken.
(13) ist zum Beispiel eine Spiegelung an der Diagonalen.
(12)(34) eine Spiegelung an einer vertikalen Achse in der Mitte des Quadrats
(1234) eine Drehung um 90° im UZS
...

Nun kann man sich überlegen, dass eine Hintereinanderausführung solcher Drehungen und Spiegelungen wieder real durchführbar ist, ohne das Quadrat zu zerstören, d.h. dass benachbarte Ecken natürlich auch nach jeder dieser Operationen wieder benachbart sind.
Dagegen gibt es in der großen $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ auch Elemente, die Operationen auf dem Quadrat bewirken, die geometrisch nicht mehr nachvollziehbar sind. Solche Elemente können dann auch nicht mehr im Erzeugnis von (13) und (1234) liegen.

13.09.2010, 23:21

fee90

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das mit dem geometrisch vorstellen klingt natürlich sehr gut. ist immer gut, wenn man ein bild vor augen hat, das ist mir auch klar jetzt, was unser erzeugnis macht.

würde man nun sofort, ohne die gruppe zu kennen usw. auch an (1,3)(1,2,3,4) ablesen können, was da geometrisch passiert...(ich meine ohne die einzenen aufgespannten elemente zu berechnen, hinzuschreiben und dann zu überlegen) bzw. wenn ich jetz frage, was passiert, wenn ich (1,4)(1,2,3,4) betrachte, kann man das da dann gleich sehen? oder bei (2,3)(1,3,4,2), etc.

bei (1,2)(1,2,3,4) wird meines wissens ja S_4 aufgespannt...

14.09.2010, 12:11

Reksilat

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Nein, direkt ablesen kann man das nicht. Da muss auch immer ein wenig Überlegung dabei sein und auch bei dieser Aufgabe braucht man eben Erfahrung oder ein gute Idee, um die Lösung zu finden. Ein allgemeines Vorgehen um das Erzeugnis mehrerer Elemente einer Gruppe auszurechnen gibt es nicht.
Das sieht man ja auch hier, da, wie Du selbst sagst, Erzeugnisse wie $\begin{eqnarray*} \langle (12),(1234)\rangle \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \langle (14),(1234)\rangle \end{eqnarray*}$ bereits die ganze $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ sind. Da muss man schon ein wenig gucken, wo hier der Unterschied liegt.

Ich will noch mal kurz den Punkt mit den Partitionen erwähnen. Beim vorliegenden Beispiel wird ja das obige Quadrat nur gedreht und gespiegelt, dabei bleiben die Diagonalen immer fest, d.h. die Punkte 1 und 3, bzw. 2 und 4 liegen sich nach jeder Operation immer noch gegenüber. Die Menge $\begin{eqnarray*} \{\{1,3\},\{2,4\}\} \end{eqnarray*}$ wird nicht verändert.
Dagegen gibt es in der ganzen $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ sehr wohl Elemente, die diese Partition verändern.

Wenn man zum Beispiel das Element $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ betrachtet, so bildet dieses die Menge $\begin{eqnarray*} \{1,3\} \end{eqnarray*}$ auf die Menge $\begin{eqnarray*} \{2,3\} \end{eqnarray*}$ ab. Die Partition ist also nicht mehr invariant. Man sieht auch, dass $\begin{eqnarray*} (12) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1234) \end{eqnarray*}$ zusammen keine andere nichttriviale Partition invariant lassen. Daraus jetzt zu folgern, dass sie zusammen die ganze $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ erzeugen, fordert aber tiefere Resultate.
Dagegen kann man leicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \langle (12),(1234)\rangle \end{eqnarray*}$ die Transpositionen $\begin{eqnarray*} (12),(13),(14) \end{eqnarray*}$ enthält und dann zitieren, dass alle Permutationen mit solchen Transpositionen erzeugt werden können.

Gruß,
Reksilat.

16.09.2010, 16:50

fee90

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ok, ich glaube mir wird das immer klarer was du schreibst, nicht schlecht. scheint ein weites feld zu sein....
vielen dank nochmals für alles, du hast mir sehr geholfen smile

smile

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