Orthogonalbasis

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16.06.2004, 13:26	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalbasis hey hab da ne aufgabe, mit der ich nich ganz klar komme vielleicht könnt ihr mir helfen!!! Sei I=[0,1] Teilmenge R das abgeschlossene Einheitsintervall, V=C(I ; R) der Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf I , U:={ p: I -> R ; p element R[x], gradp(x)<= 4} Bestimmen Sie eine Orthogonalbasis von U bzgl. dem kanonischem Skalarprodukt $\begin{align} <f,g> = \Bigint_{0}^1~f(x)g(x)~dx \end{align}$
16.06.2004, 14:13	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du mit dem Gram-Schmidt-Verfahren machen. Sagt dir das was? Wenn ja, waere das gut. Wenn nein, dann gehts auch anders.
16.06.2004, 14:24	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
ja mir sagt das schon was!!! aber da liegt auch schon mein problem!!! ich krieg es nähmlich nich hin, weil ich das verfahren nich so richtig verstanden habe!!!
16.06.2004, 15:33	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann fangen wir mal an. Zuerst brauchst du ja eine beliebige Basis von U. Kennst du eine?
16.06.2004, 15:46	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
naja wenn ich richtig denke ist (1,x,x^2,x^3,x^4) eine basis
16.06.2004, 15:53	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Und weiter? Das verfahren kannst du dir hier angucken. Wo hakt´s?
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16.06.2004, 16:40	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
na mein hauptproblem, liegt darin, wie ich auf z.B. \|\|1\|\| oder \|\|t\|\| komme!!!
16.06.2004, 16:44	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
\|\|f\|\| ist definiert als $\begin{align} \sqrt{<f,f>} \end{align}$ . Edit: Wurzel hinzugefügt.
16.06.2004, 17:19	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
kann es dann sein, das die ersten drei elemente der orthogonalbasis 1, wurzel3t und 12(t²-13/12) sind???
16.06.2004, 19:06	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, dass ich nicht mehr geschrieben habe. Ich musste zum Arzt. Du suchst nur eine Orthogonalbasis, keine Orthonormalbasis. Also kannst du beim Gram-Schmidt die Normierung ja weglassen. Dann vereinfacht sich die Rechnung etwas (sehr). Deine ersten beiden Vektoren der Basis waeren v_1 = 1 v_2 = x - 0.5 usw.
16.06.2004, 19:09	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
oh fehler meinerseits!!! suche eine orthonormalbasis. ich glaube ichs habs, aber ich weiß nich ob ichs richtig hab
16.06.2004, 19:10	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
aber trotzdem vielen dank
16.06.2004, 19:14	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Och, gut, du kannst ja deine Loesung mal hier reinstellen, dann sagen wir dir, obs richtig ist.
16.06.2004, 19:53	summer	Auf diesen Beitrag antworten »
w= $\begin{align} (1 , \sqrt{3} t , 12(t^2 -\frac{13}{12} ) , \frac{15}{49} (t^3 - \frac{64}{15} ) , \frac{392}{317} (t^4 - \frac{709}{392} ) ) \end{align}$
16.06.2004, 21:07	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht für mich erstmal nicht so gut aus, summer. Wenn ich das Skalarprodukt deiner ersten 2 Basisvektoren nehmen, bekomme ich nicht 0 raus. Hm, was ist da dann schiefgelaufen? Da musst du dich verrechnet haben. Der zweite Basisvektor sollte ein Vielfaches von x - 0.5 sein, denn $\begin{align} v_1 = 1, \|\|v_1\|\| = 1 \end{align}$ , $\begin{align} v_2 = x - <1,x>1=x-\int_0^1 x dx = x - \frac{1}{2} \end{align}$ $\begin{align} \|\|v_2\|\|^2 = \int_0^1 x^2 -x +\frac{1}{4} dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} =\frac{1}{12} \end{align}$ Falls ich mich nicht verrechnet habe, ist das dein "erster Gram-Schmidt-Schritt".
16.06.2004, 21:24	hokycoky	Auf diesen Beitrag antworten »
Ben sagt, dass sein post oben falsch ist. Die Norm ist die Wurzel aus dem Skalarprodukt. Hoffentlich hat das keine Fehler verursacht.
16.06.2004, 21:29	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
@hoky Dann hätte er trotzdem ein Vielfaches von x-0.5 herausbekommen müssen. Dann zwar ein falschen Vielfaches, aber ein Vielfaches davon. Der Fehler liegt sich irgendwo anders. Aber gut, dass du das mit dem Betrag nochmal gesagt hast.
16.06.2004, 22:55	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, das betrifft natürlich nur die Normierung. Ich editier´s oben mal. @summer: Poste doch auch mal deinen Rechenweg, dann können wir den Fehler ja zusammen suchen. Gruß vom Ben
16.06.2004, 22:59	Quese	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab auch für $\begin{align} v_1 = 1 \end{align}$ und $\begin{align} v_2=x-\frac{1}{2} , \|\|v_2\|\|^2 = \frac{1}{12} \end{align}$ für die Orthonormalbasis folgt doch dann $\begin{align} \frac{x-\frac{1}{2}}{ \sqrt{\frac{1}{12}} \end{align}$ , oder???
16.06.2004, 23:01	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Und das ist gleich $\begin{align} 2\sqrt{3}x-\sqrt{3} \end{align}$

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