Mengen mit bestimmter Teilbarkeitseigenschaft finden.

Neue Frage »

mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen mit bestimmter Teilbarkeitseigenschaft finden.
Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, an der ich schon sehr lange sitze. Ich habe schon etliche Ansätze durchprobiert, aber bei keinem kam ich zu einem wirklichen Beweis. Ich schreibe jetzt erstmal nichts davon auf, in der Hoffnung das ihr mir neue, inspirierende Ansätze geben könnt smile

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es zu jedem n, n>=2 eine Menge S bestehend aus n ganzen Zahlen gibt, für die gilt dass (a-b)² ein Teiler von a*b ist für alle verschiedenen a und b aus S.



Bis denn mathe760 Wink
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Induktion funktioniert es. Du musst einfach nur eine Idee haben, wie du im Induktionsschritt aus einer n-elementigen Menge S, die die Bedingung erfüllt, eine n+1-elementige Menge konstruierst.

Klar dabei ist: Die Zahlen in der Menge müssen irgendwie immer größer werden (Genauer: mehr Faktoren enthalten, damit sie das Quadrat der Differenzen teilen können). Die Differenz der Zahlen in der Menge sollte allerdings möglichst klein, am besten sogar konstant bleiben.
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal für die Hilfesmile

Wie kann ich denn ein finden, dass folgendes Kongruenzen system löst:



...


wobei a_1,...a_n als bekannt vorausgesetzt werden, sodass die Menge nach den Bedngungen der Aufgabe gültig ist. Weiter ist a_{n+1} so definiert, dass die Menge für irgendein ebenfalls gültig ist.
Ich habe mir dazu überlegt, dass man den Chinesischen Restsatz anwenden kann, wenn man a_{n+1} so wählen kann, dass die Moduli paarweise Teilerfremd sind. Aber kann man das für beliebig großes n?



Bis denn mathe760 Wink
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll dieses Kongruenzensystem? Im allgemeinen ist 0 die einzige Lösung dieses System, z.b. schon für mit . Diese Menge erfüllt aber offensichtlich die Bedingung.

Und warum nimmst du diese spezielle Form von an? Warum sollten alle Zahlen mit der selben Zahl multipliziert werden?
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Kongruenzensystem war eine spontane Idee von mir, ich habe vorher versucht die Differenzen zwischen den Zahlen konstant zu halten, aber es hat leider nicht ganz geklappt. Ich wäre sehr glücklich und dankbar, wenn ich einen konkreten Tipp in die richtige Richtung erhalten würde.


Bis denn mathe760 Wink
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mal den Ansatz machen.
 
 
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann habe ich den Beweis jetzt, hätte nicht gedacht, dass der so einfach ist.
Vielen Dank tmo smile .



Bis denn mathe760 Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »