partielle Integration

09.09.2010, 14:13

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

partielle Integration

Hallo zusammen...
Ich hab am Montag Prüfung und verstehe eine Aufgabe nicht.

Aufgabe:
Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale unter Anwendung geeigneter Integrationsregeln.

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{e^{x} }{1+9e^{2x} } \, dx \end{eqnarray*}$

Bitte um Hilfe.
Weiß zur Zeit nicht mal, wie ich ansetzen soll!?
Mit PBZ?

Mfg

Chris

09.09.2010, 14:15

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Substitution wäre hier zu empfehlen.

09.09.2010, 14:43

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

was nehme ich da am besten?
der ganzen Term, der unter dem Bruchstrich steht?

09.09.2010, 14:46

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre evtl. auch eine Möglichkeit, es geht aber schöner. $\begin{eqnarray*} 9e^{2x}=3^2e^{2x}=\dots \end{eqnarray*}$ , mit einer passenden Substitution ergibt sich dann ein Standardintegral.

09.09.2010, 14:53

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, aber ich komme immernoch nicht weiter.
Kannst du mir den Anfang mal zeigen?

09.09.2010, 14:55

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Anfang steht doch schon da, der nächste Schritt wäre die Verwendung der Potenzgesetze, danach kann man geeignet substituieren.

Anzeige

09.09.2010, 14:56

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja okay. Ich habe aber Probleme mit dem Bruchstrich!

09.09.2010, 14:57

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Bruchstrich hat aber doch mit dem jetzigen Schritt gar nichts zu tun... verwirrt

verwirrt

09.09.2010, 15:08

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

so wir haben ja die Ausgangsgleichung so umgestellt,

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{e^{x} }{1+3^2e^{2x} } \, dx = \int \! \frac{e^{x} }{1+t } \, dx \end{eqnarray*}$

dann nehmen wir
$\begin{eqnarray*} t=3^2e^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}= 2e^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} dt= e^{2x} dx \end{eqnarray*}$

wie bekomme ich denn jetzt diesen letzten Wert auf e^{x} gebracht?

09.09.2010, 15:12

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

So solltest du aber doch gar nicht substituieren unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Iorek
der nächste Schritt wäre die Verwendung der Potenzgesetze

Vereinfache doch zuerst noch weiter.

09.09.2010, 15:17

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie weit kann man das denn vereinfachen? Ich bin vollkommen ratlos!!!

09.09.2010, 15:29

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

verinfacht:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1 }{1+3^2e^{x} } \, dx \end{eqnarray*}$

ist das richtig?

09.09.2010, 17:49

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Merkspruch: Aus Differenzen und Summen kürzen...

Ich hab doch schon mehrmals den Wink zu den Potenzgesetzen gegeben, wieso habe ich außerdem $\begin{eqnarray*} 9e^{2x}=3^2e^{2x} \end{eqnarray*}$ geschrieben? Irgendwohin will ich damit ja kommen.

$\begin{eqnarray*} 3^2e^{2\cdot x}=3^2(e^x)^2 \end{eqnarray*}$ , den letzten Schritt musst du jetzt selbst machen.

10.09.2010, 12:38

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo Danke. Werde es jetzt mal so probieren!

10.09.2010, 13:11

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst Du denn die Ableitung des Arkustangens?

Mit anderen Worten: Ist Dir folgendes bekannt?

$\begin{eqnarray*} \int\frac {\dd x}{1+x^2}=\arctan(x) \end{eqnarray*}$

10.09.2010, 14:15

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

nee das war mir nicht bekannt. In der Lösung stand sowas auch drinne, allerdings wusste ich überhaupt nicht, wo das herkommen soll.

10.09.2010, 14:19

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Das gehört eigentlich zu den Standardintegralen, das sollte man kennen (und führt hier auf eine einfache Lösung).

10.09.2010, 14:32

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

das sind aber sehr sehr viele Standardintegrale. unglücklich

unglücklich

Habe jetzt glaube die Lsg.:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{e^{x} }{1+3²(e^{x} )^2} \, dx =\int \! \frac{e^{x} }{1+(3e^{x} )^2}=\int \! \frac{e^{x} }{1+(t )^2}=\int \! \frac{\frac{1}{3}}{1+(t )^2}=\int \! \frac{1}{3} \frac{1 }{1+(t )^2}=\frac{1}{3} arctan(3e^{x} )+C \end{eqnarray*}$

10.09.2010, 14:38

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt, allerdings ist dein Rechenweg formal total falsch, $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{e^{x} }{1+(3e^{x} )^2}=\int \! \frac{e^{x} }{1+(t )^2}=\int \! \frac{\frac{1}{3}}{1+(t )^2} \end{eqnarray*}$ ist vollkommener Quatsch (Integrationsvariable fehlt und die Gleichheitszeichen sind so wie es da steht falsch).

10.09.2010, 15:25

Chris88

Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt habe die dx und die dt vergessen!

10.09.2010, 15:48

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Chris88
ja stimmt habe die dx und die dt vergessen!

Damit ist es nicht getan.
Ganz gleich ob mit $\begin{eqnarray*} \dd x\text{ oder mit } \dd t \end{eqnarray*}$ versehen - der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \int\frac{e^x}{1+t^2} \end{eqnarray*}$ ist und bleibt in diesem Zusammenhang vollkommen sinnfrei!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »