Vektorräume mit endlichen Mengen

10.09.2010, 17:53

thaag

Vektorräume mit endlichen Mengen

Hallo,
ich hätte da mal ein paar Fragen zu Vektorräumen mit endlichen Mengen.
Zum einen:
$\begin{eqnarray*} M = \mathbb{Z} / 4\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
über welchem Körper wird M zu einem Vektorraum?
Antwort ist wohl $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}2 \end{eqnarray*}$

weiß einer vllt warum?

dann noch:
Wir haben einen $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}-Vektorraum \end{eqnarray*}$ V mit Menge M = $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}2 \end{eqnarray*}$
dim V = 3.

Wie viele Untervektorräume gibt es? (Wie viele mit Dimension 1, 2?)

Also ich weiß ja wie ein Vektorraum definiert ist und wie diese endlichen Körper funktionieren, aber bei den Aufgaben hab ich irgendwie keine Ahnung...

Noch ein Nachtrag zur ersten Frage:
kann die Antwort überhaupt stimmen? Für Vektorräume muss ja gelten:
$\begin{eqnarray*} (\lambda + \mu) \cdot v = \lambda \cdot v + \mu \cdot v \end{eqnarray*}$
setzt man nun $\begin{eqnarray*} \lambda := [1] \mu:=[1] \end{eqnarray*}$ dann gilt:
$\begin{eqnarray*} ([1]+[1]) \cdot v = [1+1] \cdot v = [0] \cdot v = 0 \neq [1] \cdot v + [1] \cdot v = v+v = 2v \end{eqnarray*}$
Oder war da jetzt wo ein Denkfehler?

10.09.2010, 19:54

Elvis

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$\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ist in natürlicher Weise für jeden Körper der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Vektorraum der Dimension n über dem Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ , das gilt insbesondere für den endlichen Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ .
Der Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^n \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ enthält die $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ... \\ a_i \\ ... \end{pmatrix}, a_i=\overline 0\vee a_i =\overline 1, i=1,...,n \end{eqnarray*}$ .
Durch beliebige Zuordnung kann man die $\begin{eqnarray*} 4=2^2 \end{eqnarray*}$ Elemente von $\begin{eqnarray*} M=\mathbb Z/4\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit den 4 Elementen von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^2 \end{eqnarray*}$ identifizieren und M als $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ - Vektorraum auffassen. Sehr natürlich ist das aber nicht.

Die Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^3 \end{eqnarray*}$ zu finden ist eine reine Fleissaufgabe. Wie die $\begin{eqnarray*} 8=2^3 \end{eqnarray*}$ Vektoren aussehen habe ich oben hingeschrieben. Jeder ausser dem 0-Vektor erzeugt offensichtlich einen eindimensionalen UVR.

10.09.2010, 19:58

Elvis

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RE: Vektorräume mit endlichen Mengen
Antwort zum Nachtrag: über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} v+v=0 \end{eqnarray*}$ .

10.09.2010, 19:59

thaag

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ok, K^n ist mit jedem Körper ein Vektorraum, aber Z / 4Z ist ja kein Körper.
edit: ok dazu hast ja das mit dem $\begin{eqnarray*} F^2_2 \end{eqnarray*}$ geschrieben merk ich grad

Wie kann ich die 2-dimensionalen Untervektorräume von obigem Beispiel zählen?

10.09.2010, 20:02

thaag

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RE: Vektorräume mit endlichen Mengen

Zitat:

Original von Elvis
Antwort zum Nachtrag: über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} v+v=0 \end{eqnarray*}$ .

Warum? wenn M = Z / 4Z, dann kann v+v ja auch ungleich 0 sein?

10.09.2010, 20:05

Elvis

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1. M ist kein Körper, kann aber als VR aufgefasst werden (so wie ich das schon gesagt habe).
2. wer einen Vektor aus 7 auswählen kann, sollte nicht zu grosse Schwierigkeiten haben, 2 aus 7 auszuwählen (7 über 2 = 21) Augenzwinkern

10.09.2010, 20:08

Elvis

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RE: Vektorräume mit endlichen Mengen

Zitat:

Original von thaag

Zitat:

Original von Elvis
Antwort zum Nachtrag: über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} v+v=0 \end{eqnarray*}$ .

Warum? wenn M = Z / 4Z, dann kann v+v ja auch ungleich 0 sein?

Wie das jetzt ? DU hast doch das Gegenteil bewiesen !

10.09.2010, 20:09

thaag

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ok danke, damit wär glaub alles geklärt. Ich muss nochmal alles überdenken aber ich glaube ich habs halbwegs verstanden Freude

Edit: Doch noch eine Unklarheit. Und zwar bei den zweidimensionalen Untervektorräumen. Ich kann doch nicht einfach alle Kombinationen von Vektoren betrachten, da manche doch denselben UVR erzeugen oder nicht?
Also zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \left < \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \right > = \left < \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \right > \end{eqnarray*}$
Diese will ich ja eigentlich nicht doppelt zählen.

11.09.2010, 09:49

Elvis

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Ja, deshalb ist es ja auch eine Fleissaufgabe und nicht einfach nur trivial. Es wäre nett, wenn du gelegentlich mitteilst, wie die 2-dimensionalen UVRe von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^3 \end{eqnarray*}$ aussehen.

11.09.2010, 12:35

thaag

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Hm ok,
also durch Ausprobieren wird schnell klar, dass jeder 2dimensionale UVR genau die 0 und 3 andere Vektoren enthält. Also gibt es (7 über 2) / 3 = 7 zweidimensionale Untervektorräume.
Gibt es irgendeine schlaue Überlegung die man da machen kann um darauf zu kommen oder muss man es tatsächlich ausprobieren?

11.09.2010, 13:23

Elvis

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Dein Ergebnis gefällt mir. Der dritte Vektor ist jeweils die Summe aus den beiden Erzeugenden - und über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ kann man keine weiteren Linearkombinationen bilden, weil als Koeffizient nur 0 und 1 infrage kommen. (Bei höheren Dimensionen müsste man über die Systematik noch ein bisschen nachdenken, aber diese Nuss ist geknackt. Augenzwinkern

)

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